为避免混淆，请使用下标来表示相应的随机变量。

让$y\in\{0,c,2c,\ldots\}$并观察当$c\ne 0$,

$$p_Y(y) = p_X\left(\{x\mid cx=y\}\right) = p_X\left(\{y/c\}\right) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{y/c}}{(y/c)!}.$$

什么时候$c=0$唯一可能的值$y$是$0$和

$$p_Y(0) = p_X\left(\{x\mid 0x=0\}\right) = p_X\left(\{0,1,2,\ldots\}\right) = 1.$$

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这里应用的一般规则是，当$X$是任意随机变量， $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是一个可测量的函数，并且$Y=f(X)$, 那么对于任何 Borel 集$\mathcal{B}\subset\mathbb{R}$

$$\Pr(Y\in\mathcal{B}) = \Pr(f(X)\in\mathcal{B}) = \Pr(X\in f^{-1}(B))$$

在哪里

$$f^{-1}(\mathcal B) = \left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\in\mathcal{B}\right\}.$$

这些并不是关于概率本身的真正事实：您可以看到它们只是在陈述函数的基本属性。

在这种特殊情况下，映射是并且是泊松分布；但完全相同的方法适用于任何（可测量的）和任何分布。$f(x)=cx$$\Pr$$f$