的能量由下式给出$x(t)$

$$E_x=\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2(\pi t)}{(\pi t)^2}dt\tag{1}$$

如果我们可以假设我们知道是理想低通滤波器的脉冲响应，那么积分可以在不使用傅里叶变换和 Parseval 定理的情况下计算，通过注意到它可以表示为卷积计算在：$x(t)$$(1)$$t=0$

$$E_x=(x\star x)(0)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(\pi\tau)}{\pi\tau}\frac{\sin(\pi(t-\tau))}{\pi(t-\tau)}d\tau{\huge|}_{t=0}\tag{2}$$

中的卷积可以看作是用与信号具有相同截止频率的理想低通滤波器对理想低通信号进行滤波。显然，滤波不影响信号，卷积的结果等于：$(2)$$x(t)$

$$(x\star x)(t)=x(t)\tag{3}$$

因此，

$$E_x=x(0)=1\tag{4}$$

（请注意，在的值被定义为极限。）$x(t)$$t=0$

Matt L. 的答案很棒，因为它使用了信号处理的洞察力。

这是一个纯粹的“转动曲柄”方法，不使用信号处理：

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\pi x)}{(\pi x)^2} dx &= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2} dx \tag{1} \\ &= \frac{1}{\pi}\left[ \sin^2x \int \frac{1}{x^2} dx\right]_{-\infty}^\infty -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d(\sin^2 x)}{dx} \int \left(\frac{1}{x^2} dx\right) dx \tag{2}\\ &= \frac{1}{\pi}\left[ -\frac{\sin^2 x}{x}\right]_{-\infty}^\infty + \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin 2x}{x} dx \tag{3}\\ &= 0 + \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} dx \tag{4}\\ &= \frac{1}{\pi} \cdot \pi \tag{5}\\ &= 1 \end{align}$$ 其中 (1) 是通过变量的变化$\pi x$到$x$, (2) 是通过部分积分， (4) 是通过变量的变化$2x$到$x$最后 (5) 来自这个 math.SE 答案。