信息处理 - 乘性高斯噪声的最大似然估计器 - 吾爱随笔录

乘性高斯噪声的最大似然估计器

信息处理统计数据

2022-02-16 16:13:19

所以我试图为 MLE 推导出一个解析解，它应该估计一个被乘性高斯噪声污染的静态值。

测量向量 $\tilde{\boldsymbol{d}}$ 给出为a[ $a[n]x_u$ 其中 $a[n]$ 是随机变量并且是一个未知常数，应该从估计。 $n$ $A \propto \mathcal{N}(\mu_A, \sigma_A)$ $x_u$ $\tilde{\boldsymbol{d}}$

我得到了对数似然函数，现在我需要就 $x$ 最大化它。为此，我需要取 log-likelihood 的导数，将其设置为零并求解 $x$ 。但是，最后的求和项让我头疼，因为我无法弄清楚它的导数。

$\ell(x, \tilde{\boldsymbol{d}}) = -N \cdot \log x - N\cdot \log\sigma_A - \frac{N}{2} \log 2\pi - \frac{1}{2\sigma^2_A}\sum\limits_{n=1}^N\bigg(\frac{\tilde{d}[n]}{x}-\mu_A\bigg)^2$

2个回答

好的，让我们看一下有问题的术语之一：可由Wolfram验证 Α。

\frac{δ}{δ x} [(\frac{\tilde{d} [n]}{x} - μ_{A})^{2}] = - \frac{2 \tilde{d} [n] (\tilde{d} [n] - μ_{A} x)}{x^{3}}

$\frac{\delta}{\delta x} \bigg[ \bigg(\frac{\tilde{d}[n]}{x}-\mu_A\bigg)^2 \bigg ] = - \frac{2 \tilde{d}[n] \bigg (\tilde{d}[n] - \mu_A x\bigg) }{x^3}$

求和项的全导数就是对求和。 $n$

要清楚：

我假设以形式给出，带有一个确定性变量，因此使用上的 iid你就有有了这个，只有对数似然的第一项和最后一项取决于；我假设你的是自然对数，否则你将不得不相应地调整二次项。然后这给了你 $\mathbf{\tilde{d}}$ $a[n]x$ $x$ $\mathbf{\tilde{d}}$

if A \sim (μ_{A}, σ_{A}^{2}) ⟹ \tilde{d} \sim (μ_{A} x, σ_{A}^{2} x^{2})

$\text{if}\quad A \sim \mathcal (\mu_A, \sigma^2_A) \Longrightarrow \mathbf{\tilde{d}} \sim \mathcal (\mu_A x, \sigma^2_A x^2)$

x

$x$

\log (\cdot)

$\log(\cdot)$

\ln (\cdot)

$\ln (\cdot)$

\begin{aligned} \frac{d [ℓ (x, \tilde{d})]}{d x} & = \frac{- N}{x} - \frac{1}{2 σ_{A}^{2}} \sum_{n = 1}^{N} [- 2 \frac{\tilde{d} [n]}{x^{2}} (\frac{\tilde{d} [n]}{x} - μ_{A})] \\ = \frac{- N}{x} + \frac{1}{σ_{A}^{2} x^{3}} \sum_{n = 1}^{N} \tilde{d} [n] (\tilde{d} [n] - μ_{A} x) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\textrm{d}\left[\ell(x, \tilde{\boldsymbol{d}})\right]}{\textrm{d}x}&=\frac{-N}{x}-\frac{1}{2\sigma^2_A}\sum_{n=1}^N\left[ -2\frac{\tilde{d}[n]}{x^2}\left(\frac{\tilde{d}[n]}{x}-\mu_A\right)\right]\\ &=\frac{-N}{x}+\frac{1}{\sigma^2_A{x^3}}\sum_{n=1}^N\tilde{d}[n]\left(\tilde{d}[n]-\mu_A x\right) \end{align}$ 你可以从这里开始.

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