正交矩阵具有正交列，即两个不同列的标量积为零（这种情况$i\neq j$）。对于案件$i=j$你有$a_i^Ta_i=\|a_i\|^2>0$.

的正交矩阵，您只能说：$a_i$

其中是某个常数，具体取决于矩阵。$c_i>0$

然后，有正交矩阵。除了前面的语句之外，这些还满足，因此。$c_i=1$$A^TA=I$

最后，只有当你的是一个正交正交矩阵时，它才持有。$A$$A^{-1}=A^T$

您描述的任务有两个缺陷：

• 它只讨论正交矩阵，我们可以说与包含列的规范。$A^TA=\text{diag}(\vec{c})$$\vec{c}$
• 它指出是一个矩阵（即不是正方形）。矩形矩阵没有逆矩阵。所以，最后的说法是不正确的。$A$$n\times m$

编辑：通常在文献中，正交矩阵被认为是具有单位范数列的正方形。然后和。但是，由于问题明确提到了矩形矩阵，我想指出这实际上取决于您对正交矩阵的定义。而且，如果您只是将其定义为正交列，则上述参数成立。$A^TA=I$$A^{-1}=A^T$

假设你有一个集合 向量在（长度，列式），成对正交，即与单位范数正交。将它们并排堆叠在矩阵$n$$o_k$$\mathbb{R}^{m,1}$$m$

您有所谓的正交（矩形）矩阵，有时称为正交列矩阵。相同的概念适用于逐行。首先，请注意您应该有。如果不是，则不可能维线性空间个线性独立的向量。$m\ge n$$m$$m$

然后，的每个元素由，因此当，，由的正交性定义。$p_{i,j}$$A^T A$$o_i^T o_j$$1$$i=j$$0$$o_k$

请注意，对于非方阵，存在所谓的广义逆，例如Moore-Penrose 伪逆，它与平方情况下的标准逆相一致。