一个“因果”的 LTI 系统（甚至不是 L 或 TI 的系统）希望实时实现，而“非因果”系统永远无法实时实现，因为非因果系统响应输入从未来。因果系统只响应现在的输入和/或过去的输入。

对于 LTI 系统，可以证明输出$y(t)$严格取决于输入$x(t)$和系统脉冲响应$h(t)$. 这种依赖性表示为我们称之为“卷积”的操作：

$$y(t) = h(t) \circledast x(t) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \, x(t-\tau) \, d\tau$$

或者

$$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \, h(t-\tau) \, d\tau$$

当且仅当所有时，输出不依赖于输入的未来值。$h(t) = 0$$t<0$$y(t)$$x(t)$

$$y(t) = \int\limits_{0}^{+\infty} h(\tau) \, x(t-\tau) \, d\tau$$

或者

$$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{t} x(\tau) \, h(t-\tau) \, d\tau$$

这就是因果系统和非因果系统之间的显着区别。

现在，如果脉冲响应之前始终为零（意味着脉冲响应在脉冲撞击系统​​输入之前没有响应），则称为“因果” ，因此该定义扩展到所有信号，甚至不是脉冲响应的信号。$h(t)$$t=0$

它之所以重要，是因为事实证明，因果系统的频率响应的实部和虚部必须是希尔伯特变换对；它们必须作为彼此的希尔伯特变换相互关联。

我认为“因果信号”只是从“因果系统”中借来的。对于一个系统，“因果”约束是有意义的和基本的，即，如果输入没有发生，则系统不应该产生与输入值相关的任何输出。然后，对于 LTI 系统，“因果”性质意味着。然后，将概念扩展到信号。然而，由于它对于“非因果”信号是有意义的，所以这个概念并不重要。 $h(t) =0, \text{ for } t<0$

简而言之：

(1)对于一个实际的系统，“因果”是一个基本要求，尤其是对于模拟系统，一个“非因果”的模拟系统确实是不存在的。“因果”来自时间，即你现在所做的事情不应该受到未知未来的影响。

(2) 对于 LTI 系统，“因果”等价于。$h(t)=0, \text{ for } t<0$

(3) 然后，将“因果”概念推广到信号，即如果信号，则称为“因果”信号。只是因为它们的形式相似。$x(t)=0, \text{ for }t<0$$x(t)$

(4) 但是，与“非因果”系统不同，“非因果”信号在世界上是有意义的和普遍的。

我认为数学上的便利在这里过于字面化了。我们对因果系统感兴趣的原因是我们不能稳健地区分。换句话说，理论上在我们依赖输入的五次导数的系统中没有问题。但实际上测量五阶导数是不可能的，除非一组测量为零的物理系统。这就是为什么我们从不将 PID 控制器实现为纯微分，而是使用超前/滞后滤波器。我仍然不知道为什么我们坚持这样教学。

由于因果系统只依赖于输入的因果部分，它在数学上等同于将当前状态写为状态向量的初始条件并运行它。因此，我们可以安全地假设在时，对于所有，和 0 。请注意，对于负值，将所有状态值设为零是一种约定。只要初始条件允许，您就可以取任意值。这就是我们处理左侧信号的原因。因为我们不在乎。$t=0$$x(0)=x_0$$x(t)=0$$t<0$$t$

这里的关键假设是我们对因果关系的选择完全是人为的！中，没有物理学规定的因果关系。没有什么会迫使我们选择力量是由于位置，反之亦然。这都是因为工程的便利性。$F=ma$

这种观点是对控制系统的所谓行为方法的核心观察。虽然你还不能用它做很多事情，但它是正确理解控制系统的好方法。已故伟大的扬·威廉斯（Jan Willems）是这种观点的主角。由于我们对输入输出映射的奇怪选择，您可以在此处阅读有关关门机制的奇怪反因果性。此外，所谓的描述符系统是这样的系统，其中系统不限于因果关系。