我有信号$s[n]$，我想用频率选择性偏移来计算它的 DFT（计算所有$k$在这里，但我真的只关心$k > 0$)

$$S[k] = \sum_{n=0}^{N-1} s[n-\dfrac{N}{2k}] e^{(-j2\pi nk/N)}\space\space\space -N/2 \le k \lt N/2$$

根据这里一般移位定理的推导，我可以改变变量$m = n-\dfrac{N}{2k}$：

$$S[k] = \sum_{m=-N/2k}^{N-1-N/2k} s[m] e^{(-j2\pi (m+N/2k)k/N)}$$

以指数项进行乘积：

$$S[k] = \sum_{m=-N/2k}^{N-1-N/2k} s[m] e^{(-j2\pi mk/N)} e^{-j\pi}$$

并意识到$e^{-j\pi} = -1$：

$$S[k] = -\sum_{m=-N/2k}^{N-1-N/2k} s[m] e^{(-j2\pi mk/N)}$$

令我惊讶的是，这表明班次消失了，尽管现在我正在对班次间隔进行求和。我相信这只是另一个必须进行的阶段调整，考虑到$s[n]$是周期性的。

我很难相信这一点，我本来预计会产生类似频率二次相移的结果。谁能指出我在哪里犯了错误？