信息处理 - Morlet小波函数的傅里叶变换？ - 吾爱随笔录

Morlet小波函数的傅里叶变换？

信息处理 matlab fft 傅里叶变换小波

2022-01-26 06:59:48

Morlet 小波函数的一种定义由下式给出：

\frac{1}{\sqrt{π f_{b}}} e^{\frac{- t^{2}}{f_{b}}} e^{j 2 π f_{c} t}

$\frac{1}{\sqrt{\pi f_b}}e^{\frac{-t^2}{f_b}}e^{j2\pi f_c t}$ 该方程的傅里叶变换为：

e^{- π^{2} f_{b} (f - f_{c})^{2}}

$e^{-\pi^2 f_b(f-f_c)^2}$ （这样对吗）？
首先，我尝试FFT在 Matlab 中逐个函数绘制 Morlet 函数的 FFT，然后我直接绘制了傅里叶变换函数。我预计会看到相同的图，但不幸的是它们的大小不同（为什么？）。我发布了情节和我的代码，你知道为什么会这样吗？我的代码有问题吗？或者得到的傅里叶变换有什么问题？或者Matlab内置FFT函数有什么问题？

在此处输入图像描述我编写了这个脚本来获取这些图：

clear all;
fS = 500;
tStart= -4;
tStop= 4;
timeVector = linspace(tStart,tStop, (tStop-tStart)*fS );
fC = 2;
fB=2;
timeMask = zeros(1,length(timeVector));
timeMask((timeVector >= -fB/2) & (timeVector <= fB/2)) = 1;
psiWavelet = ((pi*fB))^(-0.5).*...                   % Morlet function
exp(2*1i*pi*fC.*timeVector).*exp(-timeVector.^2/fB); % Morlet function
%      FFT plot by matlab bulit-in FFT function
     Nfft =10*2^nextpow2(length(timeVector));
    FFT =fftshift(abs(fft(psiWavelet,Nfft)));
    freqs=[0:Nfft - 1].*(fS/Nfft);
    freqs(freqs >= fS/2) = freqs(freqs >= fS/2) - fS;
    freqs=fftshift(freqs);
    figure(2);
    subplot(1,2,1)
    plot(freqs, FFT); 
    xlim([-1  5]);
    xlabel('Frequency / Hz');
    title (sprintf('Fourier Transform'));
%     FFT plot by its direct fourier transfrom function
    f_psi=exp(-(pi^2*fB)*(freqs-fC).^2);
    subplot(1,2,2)
    plot(freqs,f_psi)
    xlim([-1  5]);

2个回答

如果你近似傅里叶变换

X (f) = F (x) (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- 2 π j f t} d t

$X(f)=\mathcal F(x)(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t)\,e^{-2\pi j\,ft}\,dt$

通过离散傅里叶变换，通过在时间段上采样 $[-T,T]$ 作为

X (f_{n}) \approx \sum_{k = - N}^{N - 1} x (k τ) e^{- 2 π j f_{n} k τ} τ = s [n] τ

$X(f_n)\approx \sum_{k=-N}^{N-1} x(k\tau)\,e^{-2\pi j\,f_nk\tau}\,\tau=s[n]\,\tau$

和 $T=N\tau$ , $f_n=n/(N\tau)=n/N*f_s=n/T$ , $n=-N,...,N-1$ , $s$ FFT 对采样的结果 $x$ 换班后的顺序，...

那么你必须将 FFT 方法的结果乘以 $\tau=T/N=1/f_s$ .

对于 Morlet 小波的傅立叶变换 (FT)，我也得出了与 @Electricman 相同的方程。基于该等式，我寻求之间的关系 $f_b$ 以及 FT 的高斯形式的标准差。是否有任何可引用的已发表文献（书籍或期刊文章）得出以下推导？

X (f) = F (x) (f) = e^{- π^{2} f_{b} (f - f_{c})^{2}}

$X(f)=\mathcal F(x)(f)=e^{-\pi^2 f_b(f-f_c)^2}$

将其重新排列为熟悉的高斯形式，

X (f) = e^{\frac{- (f - f_{c})^{2}}{2 {(\frac{1}{π \sqrt{2 f_{b}}}))}^{2}}}

$X(f) = e^{\frac{-(f-f_c)^2}{2\left({\frac{1}{\pi\sqrt{2f_b} })}\right)^2}}$

标准差 $(\sigma_f)$ 那么这个频域高斯的，

σ_{f} = \frac{1}{π \sqrt{2 f_{b}}}

$\sigma_f = \frac{1}{\pi\sqrt{2f_b}}$ 重新整理一下，

f_{b} = \frac{1}{2 {(π σ_{f})}^{2}}

$f_b = \frac{1}{2{(\pi\sigma_f)}^2}$

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