假设我们正在处理无符号数字类型。如果您将所有位用于整数部分，则可能的数字集将是： $a+b$

$$\left\{0, 1, 2, 3, \dots, 2^{a+b}-1\right\}.$$

这些数字可以除以（或乘以）以使用位作为小数部分，从而得到这组可能的数字：$2^b$$2^{-b}$$b$

$$\left\{0, 1\times2^{-b}, 2\times2^{-b}, 3\times2^{-b},\dots, \left(2^{a+b}-1\right)\times2^{-b}\right\} \\=\left\{0, 2^{-b}, 2\times2^{-b}, 3\times2^{-b},\dots, \underline{\underline{2^a-2^{-b}}}\right\}.$$

所以你的公式给出了可以表示的最大数字（双下划线）。

该公式也可以理解为或一个最低有效位 (LSB)，这是第一个与 0 具有相同截断二进制字符串表示的数字，第一个数字在系统。以类似的方式，在 8 位无符号整数系统中，我们从 256（二进制 1 0000 0000）向后退一步，得到 255（二进制 1111 1111），这是该系统中最大的可表示数字。$2^{-b}$$2^a$

我刚刚发现范围在算术中具有确定的含义：最大值减去最小值。最小值恰好为零，因此在这种情况下，最大值等于范围。

对于无符号定点，位二进制数的表示为$N$$x$

$$x=\frac{1}{2^b}\sum_{n=0}^{N-1}2^n x_n, \quad \text{where $x_n$ is the $n^{\rm th}$ bit value of $x$}$$

为了这$N$-bit 二进制数，您可以从中获取值$0$到$2^N -1$因为最小的数是$N$-位全零（$x_n =0\ \forall n$)，最大的是$N$-位全1（$x_n =1\ \forall n$）。然后给出最小值和最大值的表示如下：

$$\begin{align} x_{\rm min}&=\frac{1}{2^b}\left(1\cdot 0+ 2^1\cdot 0+\ldots+2^{N-1}\cdot 0\right)=\frac{1}{2^b} \cdot 0=0\\ x_{\rm max}&=\frac{1}{2^b}\left(1\cdot 1+ 2^1\cdot 1+\ldots+2^{N-1}\cdot 1\right)=\frac{1}{2^b}\left[1\cdot\left(\frac{1-2^N}{1-2}\right)\right]=\frac{2^N - 1}{2^{b}}=2^{N-b} - 2^{-b}\\ \end{align}$$ 和$a=N-b$，你得到范围。

您可以阅读Randy Yates 关于定点算术的这篇精彩论文。在那里，您可以找到签名案例范围的推导等等。

该公式表达了我们可以用整数/小数表示的最大和最小数字之间的差异。

考虑一个简单的例子，例如 2.2（在我们的定点表示中有 2 个整数位和 2 个小数位）。

如果我们使用二进制补码（有符号）二进制，我们可以表示的最大正数是：

01.11

这个数字相当于$2 - \frac{1}{4}$.

我们可以表示的最大负数是：

10.00

这个数字相当于$-2$.

这里的总范围是从最大的正数到最大的负数，或者$-2$->$2 - \frac{1}{4}$. 请注意，这等于：

$4 - \frac{1}{4}$， 或者$2^a - 2^{-b}$两者都在哪里$a$和$b$根据我们的 2.2 表示，等于 2。