信息处理 - 如何从 LPC 系数转到滤波器多项式？ - 吾爱随笔录

信息处理过滤器零极点 lpc 线性预测

2022-02-01 15:05:57

我最近开始尝试使用 LPC，虽然我知道它可以工作，但我仍然对它的工作原理有些迷茫。

具体来说，我了解 LPC 涉及查找系数 $a_1, a_2, \ldots a_p$ 这样对于一个信号 $h$ ,

\begin{aligned} h (n) & \approx \sum_{i = 1}^{p} a_{i} h (n - i) \\ = a_{1} h (n - 1) + a_{2} h (n - 2) + \dots + a_{p} h (n - p) \end{aligned}

$\begin{align} h(n) &\approx \sum_{i=1}^{p} a_i h(n-i) \\ &= a_1 h(n-1)+a_2 h(n-2)+\ldots+a_p h(n-p)\end{align}$

换句话说，我们想要找到 $a_1, a_2, \ldots a_p$ 这将使我们在给定前一个样本的情况下线性近似下一个样本 $p$ .

然而，当实际使用 LPC 时，这些系数 $a_1, a_2, \ldots a_p$ 通常被视为多项式的系数：

x^{p} + \sum_{i = 1}^{p} a_{i} x^{p - i} = x^{p} + a_{1} x^{p - 1} + a_{2} x^{p - 2} + \dots + a_{p}

$x^p + \sum_{i=1}^{p} a_i x^{p-i} = x^p + a_1 x^{p-1} + a_2 x^{p-2} + \ldots + a_p$

Matlab 的 LPC 文档将此称为“预测滤波器多项式”，它对于例如查找信号的共振峰（即该多项式的零点）非常有用。

但我不明白这两种用途之间的联系。为什么将线性预测系数变成这样的多项式很有用？为什么它会起作用？

2个回答

预测多项式是 $z$ - 你写的第一个方程的域。

在执行 LPC 时，假设滤波器仅包含极点，传递函数为 $\frac{1}{A(z)}$ 在哪里

A (z) = 1 - \sum_{i = 1}^{M} a_{i} z^{- i}

$A(z)=1 - \sum_{i=1}^{M} a_i z^{-i}$

这就是你所说的多项式。请注意，它应该只有负幂 $z$ ，不积极。

正如您在问题中所写，人们估计信号 $h(n)$ 基于同一信号的过去值。这 $z^{-i}$ 多项式中的因子表示在 $z$ -域，而系数 $a_i$ 只是常数，并且由于 $z$ - 变换线性，它们保持原样。

这就是你所说的多项式。请注意，它应该只有 z 的负幂，而不是正幂。

不，让 $A(z)=1 - \sum_{i=1}^{p} a_i z^{-i}$ . 然后

z^{p} A (z) = z^{p} - \sum_{i = 1}^{p} a_{i} z^{p - i} = z^{p} - a_{1} z^{p - 1} - a_{2} z^{p - 2} - \dots - a_{p} = \prod_{i = 1}^{p} (z - b_{i})

$z^pA(z)=z^p- \sum_{i=1}^{p} a_i z^{p-i}= z^p - a_1z^{p-1} - a_2z^{p-2} - \ldots - a_p = \prod_{i=1}^{p}(z - b_i)$ 对于一些

b_{i} .

$b_i.$ 因此我们可以重构

A (z)

$A(z)$ 到

A (z) = \prod_{i = 1}^{p} (1 - b_{i} z^{- 1})

$A(z)=\prod_{i=1}^{p} (1-b_iz^{-1})$ 在哪里

b_{i}

$b_i$ 是的根

x^{p} - \sum_{i = 1}^{p} a_{i} x^{p - i} = x^{p} - a_{1} x^{p - 1} - a_{2} x^{p - 2} - \dots - a_{p} .

$x^p - \sum_{i=1}^{p} a_i x^{p-i} = x^p - a_1 x^{p-1} - a_2 x^{p-2} - \ldots - a_p.$ 需要注意的一点是Matlab的lpc函数实际上是返回的1 -a_1 -a_2 -a_3 ...

但我不明白这两种用途之间的联系。为什么将线性预测系数变成这样的多项式很有用？为什么它会起作用？

以这种形式重写很有用，因为您可以看到 $A(z)$ （因此极 $\frac{1}{A(z)}$ ) 由 $b_i$ s。共振峰是对应于 $b_i$ s。

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