一张图有时抵得上一千个字，所以让我和你分享一张。下面您可以看到来自 Bradley Efron (1977) 论文Stein's paradox in statistics的插图。如您所见，Stein 的估计器所做的是使每个值更接近总平均值。它使大于总平均值的值更小，而小于总平均值的值更大。收缩是指将值向平均值移动，或者在某些情况下向零移动（例如正则化回归），这会将参数向零收缩。

当然，这不仅仅是缩小自身，Stein (1956)和James and Stein (1961)已经证明，Stein 的估计量在总平方误差方面优于最大似然估计量，

其中，是斯坦因估计量，，其中两个估计量都是在样本上估计的。证明在原始论文和您参考的论文的附录中给出。用简单的英语来说，他们所表明的是，如果您同时进行猜测，那么就总平方误差而言，与坚持最初的猜测相比，通过缩小它们会做得更好。$\boldsymbol{\mu} = (\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_p)'$$\hat\mu^{JS}_i$$\hat\mu^{MLE}_i = x_i$$x_1,x_2,\dots,x_p$$p > 2$

最后，Stein 估计器肯定不是唯一给出收缩效应的估计器。对于其他示例，您可以查看此博客条目，或 Gelman 等人引用的贝叶斯数据分析书。您还可以查看有关正则化回归的线程，例如收缩方法解决了什么问题？，或何时使用正则化方法进行回归？, 对于这种效果的其他实际应用。