这两种方法确实不同。

让两个回归的估计标准误差为和。然后，因为组合回归（具有所有系数-虚拟交互）拟合相同的系数，它具有相同的残差，因此其标准误差可以计算为$s_1$$s_2$

$$s = \sqrt{\frac{(n_1-p) s_1^2 + (n_2-p) s_2^2)}{n_1 + n_2 - 2 p}}.$$

在示例中，参数的数量等于：每个回归中的五个斜率和一个截距。$p$$6$

让在一个回归中估计一个参数，在另一个回归中估计相同的参数，在组合回归中估计它们的差异。那么他们的标准误与$b_1$$b_2$$b$

$$SE(b) = s \sqrt{(SE(b_1)/s_1)^2 + (SE(b_2)/s_2)^2}.$$

插入前面的等式。这将是 t 检验的分母。显然，它与问题中提出的分母不同。$s$

组合回归的假设是残差的方差在两个单独的回归中基本相同。但是，如果不是这种情况，z 检验也不会很好（除非样本量很大）：您可能希望使用CABF 检验或Welch-Satterthwaite t 检验。

测试两组之间系数差异的最直接方法是将交互项包含在您的回归中，这几乎就是您在问题中所描述的。您将运行的模型如下：

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma g_i + \delta (x_i \times g_i) + \varepsilon_i$

请注意，我已将组变量作为单独的回归量包含在模型中。有了这个模型，一个$t$- 用零假设检验$H_0: \delta = 0$是检验两组之间的系数是否相同。要看到这个，首先让$g_i = 0$在上述模型中。然后，我们得到第 0 组的以下等式：

$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$

现在，如果$g_i = 1$，那么我们有：

$y_i = (\alpha + \gamma) + (\beta + \delta) x_i + \varepsilon_i$

因此，当$\delta$为 0，则两组的系数相同。