如果你只是想要一个好的估计而不太关心它的标准误差：$\omega$

ssp <- spectrum(y)  
per <- 1/ssp$freq[ssp$spec==max(ssp$spec)]
reslm <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t))
summary(reslm)

rg <- diff(range(y))
plot(y~t,ylim=c(min(y)-0.1*rg,max(y)+0.1*rg))
lines(fitted(reslm)~t,col=4,lty=2)   # dashed blue line is sin fit

# including 2nd harmonic really improves the fit
reslm2 <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t)+sin(4*pi/per*t)+cos(4*pi/per*t))
summary(reslm2)
lines(fitted(reslm2)~t,col=3)    # solid green line is periodic with second harmonic

（更好的拟合可能仍会以某种方式解释该系列中的异常值，从而减少它们的影响。）

---

如果您想了解中的不确定性，可以使用轮廓似然性（pdf1，pdf2 - 从轮廓似然性或其变体中获取近似 CI 或 SE 的参考并不难找到）$\omega$

（或者，您可以将这些估计输入 nls ...并开始它已经收敛。）

正如@Stefan 所建议的那样，不同的起始值似乎确实可以显着提高拟合度。我观察数据表明 omega 应该约为，因为这些峰值看起来相距约 20 个单位。$2 \pi / 20$

当我把它放到nls'sstart列表中时，我得到了一条更合理的曲线，尽管它仍然存在一些系统性偏差。

根据您使用此数据集的目标，您可以尝试通过添加附加项或使用非参数方法（如具有周期性内核的高斯过程）来改进拟合。

自动选择起始值

如果要选择主频率，可以使用快速傅里叶变换 (FFT)。这超出了我的专业领域，所以如果其他人愿意，我会让他们填写详细信息（尤其是关于步骤 2 和 3），但R下面的代码应该可以工作。

# Step 1: do the FFT
raw.fft = fft(y)

# Step 2: drop anything past the N/2 - 1th element.
# This has something to do with the Nyquist-shannon limit, I believe
# (https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
truncated.fft = raw.fft[seq(1, length(y)/2 - 1)]

# Step 3: drop the first element. It doesn't contain frequency information.
truncated.fft[1] = 0

# Step 4: the importance of each frequency corresponds to the absolute value of the FFT.
# The 2, pi, and length(y) ensure that omega is on the correct scale relative to t.
# Here, I set omega based on the largest value using which.max().
omega = which.max(abs(truncated.fft)) * 2 * pi / length(y)

您还可以绘图abs(truncated.fft)以查看是否还有其他重要频率，但您必须稍微调整 x 轴的缩放比例。

另外，我相信@Glen_b 是正确的，一旦您知道 omega（或者您也需要知道 phi？我不确定），问题就是凸的。在任何情况下，如果它们在正确的范围内，知道其他参数的起始值不应该像 omega 那样重要。您可能可以从 FFT 中获得对其他参数的不错估计，但我不确定它是如何工作的。

作为已经说过的替代方案，值得注意的是，ARIMA 模型类中的 AR(2) 模型可用于生成具有正弦波模式的预测。

AR(2) 模型可以写成： 其中是一个常数， ,是要估计的参数，是一个随机冲击项。

$$\begin{equation} y_{t} = C + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + a_{t} \end{equation}$$ $C$$\phi_{1}$$\phi_{2}$$a_{t}$

现在，并非所有 AR(2) 模型在其预测中都会产生正弦波模式（也称为随机周期），但当满足以下条件时，它确实会发生：

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0. \end{equation}$$

Panratz(1991) 告诉我们以下关于随机周期的内容：

随机周期模式可以被认为是预测模式中的扭曲正弦波模式：它是具有随机（概率）周期、幅度和相位角的正弦波。

为了查看这样的模型是否可以适合数据，我使用了auto.arima()预测包中的函数来确定它是否会建议 AR(2) 模型。事实证明，该auto.arima()函数建议使用 ARMA(2,2) 模型；不是纯 AR(2) 模型，但这没关系。没关系，因为 ARMA(2,2) 模型包含 AR(2) 组件，因此适用相同的规则（关于随机周期）。也就是说，我们仍然可以检查上述条件，看看是否会产生正弦波预测。

结果auto.arima(y)如下所示。

Series: y 
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 

Coefficients:
         ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
      1.7347  -0.8324  -1.2474  0.6918    10.2727
s.e.  0.1078   0.0981   0.1167  0.1911     0.5324

sigma^2 estimated as 0.6756:  log likelihood=-60.14
AIC=132.27   AICc=134.32   BIC=143.5

现在让我们检查条件： 并且我们发现条件确实是满足的。

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0\\ 1.7347^{2} + 4 (-0.8324) < 0 \\ -0.3202914 < 0 \end{equation}$$

下图显示了原始序列 y、ARMA(2,2) 模型的拟合以及 14 个样本外预测。可以看出，样本外预测遵循正弦波模式。

请记住两件事。1）这只是一个非常快速的分析（使用自动化工具），适当的处理将涉及遵循 Box-Jenkins 方法。2）ARIMA 预测擅长短期预测，因此您可能会发现来自@David J. Harris 和@Glen_b 答案中的模型的长期预测更可靠。

最后，希望这是对一些已经非常有用的答案的一个很好的补充。

参考：使用动态回归模型进行预测：Alan Pankratz，1991，（John Wiley and Sons，纽约），ISBN 0-471-61528-5

当前将 sin 曲线拟合到给定数据集的方法需要首先猜测参数，然后是一个交互过程。这是一个非线性回归问题。由于方便的积分方程，另一种方法包括将非线性回归转换为线性回归。然后，不需要初始猜测，不需要迭代过程：直接获得拟合。如果函数 y = a + r*sin(w*x+phi) 或 y=a+b*sin(w*x)+c*cos(w*x)，请参见论文的第 35-36 页《回归正弦曲线》发表在 Scribd 上： http ://www.scribd.com/JJacquelin/documents 在函数 y = a + p*x + r*sin(w*x+phi) 的情况下：“混合线性和正弦回归”一章的第 49-51 页。对于更复杂的函数，一般过程在“广义正弦回归”第 54-61 页一章中进行了说明，然后是一个数值示例 y = r*sin(w*x+phi)+(b/x)+c *ln(x)，第 62-63 页