信息处理 - 如何检查二维滤波器/信号/矩阵的可分离性 - 吾爱随笔录

信息处理图像处理离散信号线性代数 svd 可分离性

2022-01-03 01:00:25

鉴于：

    x(n1,n2) = {1 ,n1=0,n2=0 ;
                2 ,n1=1,n2=0 ;
                3 ,n1=0,n2=1 ; 
                6 ,n1=1,n2=1 }

如何证明它是可分离的？

1个回答

Nilesh Padhi，欢迎来到 DSP 社区。

可分离的经典定义意味着由 $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 给出的数据（2D）可以写成：

X = σ u v^{T}

$X = \sigma u {v}^{T}$

其中，和。这称为 Rank 1 矩阵。 $\sigma \in \mathbb{R}$ $u \in \mathbb{R}^{m}$ $v \in \mathbb{R}^{n}$

，如何获得这些参数和向量？好吧，奇异值分解(SVD) 就是用来保存数据的。 $X$

的 SVD 由下式给出： $X$

X = U Σ V^{T} = \sum σ_{i} u_{i} v_{i}^{T}

$X = U \Sigma {V}^{T} = \sum {\sigma}_{i} {u}_{i} {v}_{i}^{T}$

for时，您可以看到这些匹配。所以你应该做的是： ${\sigma}_{j} = 0$ $j \geq 2$

epsThr = 1e-7;
[mU, mD, mV] = svd(mX);
vD = diag(mD);
if(all(vD(2:end) < epsThr))
    vU = mU(:, 1);
    vV = mV(:, 1);
end

我们检查了 2 及以后的奇异值是否确实很小。
如果他们这样做（您可以通过来决定小到什么程度epsThr），那么它是可分离的，并且向量是vU和vV。

在你的情况下：

mX = [1, 3; 2, 6];
[mU, mD, mV] = svd(mX);

vD = diag(mD);
disp(vD);

结果是：

由于vD除第一个元素（仅单个非消失奇异值）之外的值为零，因此它是可分离的。

确实，您可以看到：

mD(1) * mU(:, 1) * mV(:, 1).'

ans =

    1.0000    3.0000
    2.0000    6.0000

正如预期的那样。

当我们想要与 2D 内核进行卷积时，这种方法在图像处理中非常有用，并且我们发现它是可分离的，因此我们可以使用 2 个 1D 卷积（沿列/行）来应用 2D 卷积。

在这种情况下，我们定义和其中是奇异值。然后我们沿列卷积\。 $\hat{u} = \sqrt{{\sigma}_{1}} u$ $\hat{v} = \sqrt{{\sigma}_{1}} v$ ${\sigma}_{1}$
$\hat{u}$ $\hat{v}^{T}$

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