采样定理指出$f_\mathrm{S} \geq 2f_\mathrm{max}$，其中$f_\mathrm{S}$和$f_\mathrm{max}$分别是采样和最大信号频率。但是还有一个附加条件：等号仅在信号频谱不包含$f_\mathrm{S}/2$处的狄拉克脉冲时才成立，这在您的示例中显然是这种情况。因此必须满足$f_\mathrm{S} > 2f_\mathrm{max}$。

可以在此处找到此语句的参考，例如：

如果一个信号包含一个恰好为 B 赫兹的分量，那么间隔正好为 1/(2B) 秒的样本并不能完全确定信号，尽管香农的声明是这样的。可以削弱这个充分条件，如下面的非基带信号采样中所述。

更近期的定理陈述有时会小心地排除等式条件；也就是说，条件是如果 x(t) 不包含高于或等于 B 的频率；这个条件等价于香农的条件，除非函数在精确的频率 B 处包含一个稳定的正弦分量。

以上是相应维基百科文章的早期版本的摘录。

采样率需要大于（不等于）被采样信号的最高非零频率内容的两倍。稍微大一点可能会起作用，但采样率越接近信号频率的两倍，您可能需要采样的时间越长，以将信号提升到 DFT/FFT 结果中的噪声和复共轭图像之上。

根据定义，采样定理意义上的带限信号具有有限的能量。正弦波是周期性的，因此具有无限的能量。所以傅里叶变换中的任何狄拉克脉冲都是不允许的。

更准确地说，采样定理仅适用于可以表示为的信号

$$x(t)=\int_{-f_s/2}^{f_s/2} X(f)\,e^{2\pi i\,ft}\,df$$

$X\in L^2$。在 $L^2$ 函数类中，特定点的值无关紧要，因此 $x(t)$ 的值不依赖于 $X(\pm f_s/2)$ 的特定值。

任何实际出现的信号 $x(t)$ 都是有限长度的，因此具有连续的傅立叶变换。对于“带限”的任何近似值，傅里叶变换 $X(f)$ 需要在 $\pm f_s/2$ 及以后具有可忽略的值。

附录：任何寻找某个时间段的有限信号，如正弦波 $\sin(2\pi ft)$，并具有足够平滑的淡入和淡出，在其频谱中的频率 $\pm f$ 附近有平滑的峰值. 在峰值之外，幅度趋向于零，但从未达到它以保持为零。因此，必须定义一个阈值，在该阈值处，为了实际目的，幅度等于零、绝对值或相对于幅度的峰值。但这会导致信号的频率内容包含在 $\pm (f+h)$ 之间，因此即使是严格的规则也需要至少 $f_s=2(f+h)>2f$ 的采样频率.

同样，即使有附录，我认为 Lutz 的回答也没有抓住重点。关键是（引用维基百科）：

为了说明 $f_s \ > \ 2B$ 的必要性，考虑这个公式中不同 $\theta$ 值生成的正弦曲线族（如图 8 所示）：

$$x(t) = \frac{\cos(2 \pi B t + \theta )}{\cos(\theta )}\ = \ \cos(2 \pi B t) - \sin(2 \pi B t)\tan(\theta ), \quad -\pi/2 < \theta < \pi/2.$$

在 $f_s = 2B$ 或等价的 $T = 1/(2B)$ 时，样本由下式给出：

$$x(nT) = \cos(\pi n) - \underbrace{\sin(\pi n)}_{0}\tan(\theta ) = (-1)^n$$

无论 $\theta$ 的值如何。这种模棱两可是采样定理条件严格不等式的原因。

图 8