我认为让你感到困惑的是指数递减（$e^{-x}$) 永远不会达到 0，因此具有真正指数段的 ADSR 生成器会卡住；因为它永远不会达到目标值。例如，如果生成器处于攻击阶段的高度（例如$y = 1$) 并且必须降落以维持在$y = 0.5$，它不能用真正的指数去那里，因为真正的指数不会衰减到 0.5，它只会渐近到 0.5！

如果您查看模拟包络发生器（例如每个人似乎都使用的基于 7555 的电路），您可以看到在启动阶段，当电容器充电时，它“瞄准”高于用于指示结束的阈值的攻击阶段。在由 +15V 供电的基于 (7)555 的电路上，在攻击阶段，电容器以 +15V 的步长充电，但当达到 +10V 的阈值时，攻击阶段结束。这是一个设计选择，尽管2/3 是许多经典包络发生器中的“神奇数字”，这可能是音乐家所熟悉的。

因此，您可能想要处理的函数不是指数函数，而是它的移位/截断/缩放版本，并且您必须做出一些选择来决定您希望它们如何“压扁”。

无论如何，我很好奇您为什么要尝试获得这样的公式-也许是因为您用于合成的工具的限制；但是，如果您尝试使用通用编程语言（C、java、python）来实现那些，并为每个信封样本运行一些代码，以及“状态”的概念，请继续阅读......因为它总是更容易表示“这样的段将从它刚刚达到的任何值变为 0”。

我对实施信封的两条建议。

第一个不是尝试缩放所有斜率/增量，以使包络准确地达到起始值和结束值。例如，您想要一个在 2 秒内从 0.8 变为 0.2 的信封，因此您可能会想计算 -0.3 / 秒的增量。不要那样做。相反，将其分解为两个步骤：在 2 秒内获得从 0 到 1.0 的斜坡；然后应用将 0 映射到 0.8 和 1.0 到 0.2 的线性变换。以这种方式工作有两个优点 - 第一个是它简化了您相对于包络时间到从 0 到 1 的斜坡的任何计算；第二个是，如果您在中途更改包络参数（增量和开始/结束时间），一切都会保持良好状态。如果您正在制作合成器，那就太好了，因为人们会要求将包络时间参数作为调制目标。

第二种是使用带有信封形状的预先计算的查找表。它在计算上更轻，它消除了许多脏细节（例如，您不必为指数不准确地达到 0 而烦恼 - 随心所欲地截断它并重新调整它，使其映射到 [0, 1]），并且很容易为每个阶段提供更改信封形状的选项。

这是我描述的方法的伪代码。

render:
  counter += increment[stage]
  if counter > 1.0:
    stage = stage + 1
    start_value = value
    counter = 0
  position = interpolated_lookup(envelope_shape[stage], counter)
  value = start_value + (target_level[stage] - start_value) * position

trigger(state):
  if state = ON:
    stage = ATTACK
    value = 0  # for mono-style envelopes that are reset to 0 on new notes
    counter = 0
  else:
    counter = 0
    stage = RELEASE

initialization:
  target_level[ATTACK] = 1.0
  target_level[RELEASE] = 0.0
  target_level[END_OF_RELEASE] = 0.0
  increment[SUSTAIN] = 0.0
  increment[END_OF_RELEASE] = 0.0

configuration:
  increment[ATTACK] = ...
  increment[DECAY] = ...
  target_level[DECAY] = target_level[SUSTAIN] = ...
  increment[RELEASE] = ...
  envelope_shape[ATTACK] = lookup_table_exponential
  envelope_shape[DECAY] = lookup_table_exponential
  envelope_shape[RELEASE] = lookup_table_exponential

这是一个很老的问题，但我只想强调一下 pichenettes 的答案中的一点：

例如，您想要一个在 2 秒内从 0.8 到 0.2 的信封 [...] 将其分解为两个步骤：得到一个在 2 秒内从 0 到 1.0 的斜坡；然后应用将 0 映射到 0.8 和 1.0 到 0.2 的线性变换。

这个过程有时被称为“缓动”，看起来像

在哪里$l$和$u$是下限和上限（可能的值是$0$,$1$, 和维持水平) 和$f(x)$是这样的$x^n$. 请注意，您不需要在攻击阶段使用它，因为它已经从$0$到$1$.

这是原始的 Desmos 会话，已更新为使用此方法。我在这里使用了一个立方体，但你*可以使用任何你喜欢的形状，只要$f(x)$产生从零到一的输出给定从零到一的输入。

_{*我猜OP可能早已不复存在，但也许这对其他人有帮助。}

关于 pichenettes 的评论，“在攻击阶段，电容器以 +15V 的步长充电，但在达到 +10V 的阈值时，攻击阶段结束。这是一个设计选择，虽然 2/3 是“魔法number”在许多经典的包络发生器中发现，这可能是音乐家所熟悉的。”：

任何针对 10v 目标的 15v 渐近线的包络实际上都会产生线性攻击。只是 15v 是容易获得的最高渐近线，并且足够接近线性。也就是说，它没有什么“魔法”——他们只是尽可能地追求线性。

我不知道有多少经典合成器使用 15v——我怀疑通常有一两个二极管压降。我的旧 Aries 模块使用 13v 作为 10v 信封，而我只是查找了一个 Curtis ADSR 芯片，它使用 6.5v 作为 5v 信封。

此代码应生成与 pichennette 相似的图：

def ASD_envelope( nSamps, tAttack, tRelease, susPlateau, kA, kS, kD ):
    # number of samples for each stage
    sA = int( nSamps * tAttack )
    sD = int( nSamps * (1.-tRelease) )
    sS = nSamps - sA - sD

    # 0 to 1 over N samples, weighted with w
    def weighted_exp( N, w ):
        t = np.linspace( 0, 1, N )
        E = np.exp( w * t ) - 1
        E /= max(E)
        return E

    A = weighted_exp( sA, kA )
    S = weighted_exp( sS, kS )
    D = weighted_exp( sD, kD )

    A = A[::-1]
    A = 1.-A

    S = S[::-1]
    S *= 1-susPlateau
    S += susPlateau

    D = D[::-1]
    D *= susPlateau

    env = np.concatenate( [A,S,D] )

    # plot
    tEnv = np.linspace( 0, nSamps, len(env) )
    plt.plot( tEnv, env )
    plt.savefig( "OUT/EnvASD.png" )
    plt.close()

    return env

我很感激任何改进，可能是一个好主意的一件事是允许最后三个参数（确定三个阶段中每个阶段的陡度）在 0 和 1 之间变化，其中 0.5 是一条直线。但我不知道该怎么做。

此外，我还没有彻底测试所有用例，例如，如果一个阶段的长度为零。