如果$C\in\mathbb{R}^{n\times n}$是（对称和）正定和$A\in\mathbb{R}^{k\times n}$和$k\leq n$， 然后$ACA^T\in\mathbb{R}^{k\times k}$当且仅当是可逆的$A$有满级。（你可以想到$ACA^T$作为投影$C$到由行跨越的子空间$A$，因此期望它们线性独立是有意义的。）

要看到这一点，让$x\in\mathbb{R}^k\setminus\{0\}$随意。如果$A$有完整的（行）排名，然后$A^T$也有全（列）秩，因此是单射的。因此，$y:=A^Tx \in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, 和正定性$C$产量

$$x^T(ACA^T)x = (A^Tx)^TC(A^Tx) = y^TCy > 0,$$ IE，$ACA^T$是（对称且）正定的，因此是可逆的。相反，如果$A$没有满级，$A^T$不是单射的并且存在一个向量$x\in\mathbb{R}^k\setminus\{0\}$和$A^Tx = 0$因此$ACA^Tx = 0$. 它遵循$ACA^T$不是单射的，因此不可逆。