是否可以在索引符号中判断一个向量是行向量还是列向量，还是应该根据上下文明确？

似乎答案实际上潜伏在您的问题本身中：如果那么这并没有留下太多的回旋余地。必须是行向量才能使结果乘积成为标量 - 众所周知，两个向量的点积是标量。另一种情况会给你一个 x系统。$u \cdot v \equiv u^T v$$u^T$$n$$n$

将此逻辑扩展到以下情况$v^T u$我们看到两者$v$和$u$确实是列向量 - 这是我观察到的关于文学中的向量表示通常是正确的。

现在进入问题的第二部分，正如沃尔夫冈已经提到的那样，矩阵和向量之间的点表示法不是标准表示法。但是，如果您必须使用它，我认为您将必须遵循指示符号的准则，其中点积本质上是指收缩，即$A \cdot b \equiv A_{ij} b_j$. 这又是一个列向量（比如说$\mathbf{X}$）。所以你的第二个列表中有一些等价物，是的。

对于最后一种情况，如果你考虑$(A b)^T = \mathbf{X}^T$，并将标准标识应用于您获得的 LHS$b^T A^T = \mathbf{X}^T$. 所以真的，当你不遗余力地对整个系统进行转置时，你会得到一个行向量，如果你想一想，这非常直观。严格来说，你的向量仍然是列向量，只是你选择了他们的转置。

总之：

1. 非标准符号，但等于$A_{ij} b_j$
2. 相当于 (1) 按照惯例
3. 相当于 (1)
4. 相当于此时的（3），$A_{ij}$和$b_j$只是标量，它们的顺序是可以互换的。另外，请注意$i$这里是一个虚拟索引。
5. 我不确定这会产生什么，但我最好的猜测是$b_i A_{ij}$这不等同于上述内容。
6. 将解决方案转置为 (1-4)

希望这可以帮助！

不。

1. @WolfgangBangerth 指出的非标准符号
2. 列向量
3. 与 2 相同
4. 与 3 相同
5. 非标准符号
6. 行向量