计算科学 - 边界条件广义特征值问题 - 吾爱随笔录

边界条件广义特征值问题

计算科学有限差分边界条件特征值

2021-12-03 18:43:13

考虑以下特征值问题其中与和。为了找到特征值和特征函数，必须将运算符转换为矩阵形式。假设使用有限差分，满足边界条件和的矩阵是什么？

L x (s) = λ x (s),

$\begin{equation} \mathcal {L} x(s) = \lambda x(s), \end{equation}$

L = α \partial_{s}^{4} + (s^{2} - 1) \partial_{s}^{2} + s \partial_{s} + 1,

$\begin{equation} \mathcal {L} = \alpha \partial^4_s + (s^2-1)\partial^2_s + s \partial_s + 1, \end{equation}$

α = c o n s t

$\alpha = \rm{const}$

s \in [0, 1]

$s\in[0,1]$

L

$\mathcal L$

u (0) = u_{s} (0) = 0

$u(0) = u_s(0)=0$

u_{s s} (1) = u_{s s s} (1) = 0

$u_{ss}(1)=u_{sss}(1)=0$

1个回答

使用有限差分方法，对导数施加边界条件的典型理念是在计算域之外引入足够多的额外“鬼”点，以使未知数的总数与包括边界条件在内的方程的总数相匹配。例如，要在处实现零诺伊曼条件，我们添加一个点和一个方程。这可以通过扩展解向量和矩阵中的另一行显式完成，或者通过代入其他离散方程使得。 $s=0$ $u(-\Delta x)$ $u(-\Delta s) = u(\Delta s)$ $\partial_{ss} u (0) \approx \frac{u(\Delta s) -2u(0)+u(-\Delta s)}{2\Delta s^2} = \frac{u(\Delta s)-u(0)}{\Delta s^2}$

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