计算科学 - 使用 Crank-Nicolson 方法求解空间和时间方程 - 吾爱随笔录

使用 Crank-Nicolson 方法求解空间和时间方程

计算科学 pde 有限差分算法曲柄尼科尔森

2021-12-05 17:36:42

假设我有以下方程（光在方向上传播通过物质）：其中是一个复波。这个等式中的时间尺度是我知道如何使用 Crank-Nicolson 算法来解决这个等式：我可以用和得到方程可以使用线性代数求解。 $z$

i d_{z} u + d_{r}^{2} u = 0

$id_zu+d^2_ru=0$

u (z, r)

$u(z, r)$

t \equiv t_{lab} - z n_{0} / c

$t\equiv t_\text{lab}-zn_0/c$

\partial_{z} u_{m}^{n + \frac{1}{2}} = \frac{u_{m}^{n + 1} - u_{m}^{n}}{d z}

$\partial_zu_m^{n+\frac{1}{2}}=\frac{u^{n+1}_m-u_m^n}{dz}$

\partial_{r}^{2} u_{m}^{n + \frac{1}{2}} = \frac{\partial_{r}^{2} u_{m}^{n + 1} + \partial_{r}^{2} u_{m}^{n}}{2}

$\partial_r^2u_m^{n+\frac{1}{2}}=\frac{\partial_r^2u^{n+1}_m+\partial_r^2u^n_m}{2}$

[1 - i \cdot \frac{d z}{2} \partial_{r}^{2}] u_{m}^{n + 1} = [1 + i \cdot \frac{d z}{2} \partial_{r}^{2}] u_{m}^{n}

$\left[1-i\cdot\frac{dz}{2}\partial_r^2\right]u_m^{n+1}=\left[1+i\cdot\frac{dz}{2}\partial_r^2\right]u_m^{n}$

但是，如果我添加时间相关性，使第一个方程变为和会发生什么？之后，我该如何从上面重新制定我的方法？还是我必须使用完全不同的方法？

i d_{z} u + d_{r}^{2} u + d_{t}^{2} u = 0

$id_zu+d_r^2u+d_t^2u=0$

u (z, r, t)

$u(z, r, t)$

d t = d z \cdot n_{0} / c

$dt=dz\cdot n_0/c$

1个回答

这个问题令人困惑。一开始你说的是稳态方程，突然你说的是时间尺度……

我将尝试澄清以下内容。从数值 PDE 的角度来看，您可以将物理现象分类为与时间相关的或与时间无关的。LeVeque 的书是这方面的可靠参考。通常，与时间无关的现象是通过椭圆偏微分方程 (PDE) 来描述的，它可以被离散化，从而产生一个方程组，其解表示模拟系统在时间快照中的状态的近似值。

两个注意事项：

当在频域中表述时，时间周期相关性会产生时间无关性。
如果 PDE 是线性/非线性的，那么产生的方程组将是线性/非线性的……在后者中，显然“线性代数”方法是不够的。

时间相关问题需要时间积分。Crank-Nicolson 方法通常用于与时间相关的问题。在时间相关问题中，系统行为在时间上的快照是逐步求解的，它们的时间演化以时间积分方法为指导。

您的问题似乎是在混合时间依赖性概念。如果您有一个椭圆 PDE（假设它是线性的），那么您必须使用任何面向空间的离散化方法进行离散化。这将产生一个线性方程组，您可以利用这些属性来选择求解它的方法。非周期性的时间相关偏微分方程，例如抛物线偏微分方程，将需要时间积分方法。然而，时间积分方法可以是显式的也可以是隐式的，并且必须确保它们的数值稳定性。显式与隐式的选择取决于确保这种数值稳定性的难度。其他方面也很重要：色散、依赖于物理的网格细化条件和数值精度等。

在您的情况下，我将首先专注于解决椭圆问题。一旦你理解了这一点，就可以继续介绍时间依赖性，并研究哪种时间积分方法会产生最好的结果。

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