如果您愿意最小化解的 2 范数而不是最小化非零的数量，则可以使用伪逆。要在 MATLAB 中求解 A*x = b，那就是 pinv(A)*b。在您的示例中，这会产生 1.2120 的 2 范数解决方案，而您的首选解决方案 1.2207 的 2 范数。

您可以通过最小化 x 的一范数来更接近您的目标，前提是 A*x=b。那是一个线性规划问题。在这种情况下，它会产生您喜欢的结果，但不能保证通常会最小化非零的数量（除非您的 A 和 b 的特殊属性最终会这样做？）。

你真正想要的是最小化 x 的 0 范数，服从 A*x=b。您可以将其作为混合整数线性规划问题解决，方法是使用大 M 方法来最小化 x 的元素数量，这些元素的数量大于某个数值容差，例如 1e-6，从 0 开始。这在 MATLAB 下的 YALMIP 中很容易做到使用 YALMIP 的“暗示”，但比前面提到的方法计算量更大。

我想我找到了解决办法。我认为以下算法可以解决问题。

1. 定义一组受限索引。$M$
2. 的所有行的索引填充（等于：其元素之和为的所有行；或者，所有非对角线元素为的所有行）。$M$$1$$1$$0$
3. 删除与这些索引对应的所有行和列。
4. 添加（原始）索引的每一行（其元素在这个简化矩阵中的总和）为到。$\ne 0$$M$
5. 如果您添加了此类索引，请转到步骤 3。
6. 否则，您会留下使矩阵定义不明确的行。

在原始矩阵中，我们现在可以更改中缺少索引的所有行，这样对于这些行，只有对角线元素为 1，其余元素为 0。然后我们解决了原始问题。$M$

对于上面的例子，我们从：

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -0.3 & -0.7 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right]$$

删除最后一行和最后一列：

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -0.3 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$$

删除第二行和第二列：

$$\left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right]$$

其余的是结果行。我们在原始矩阵中修改它们：

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0.3 & -0.7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right]$$

有了这个，我们可以正常求解矩阵方程。