计算科学 - 线性平稳迭代法 - 吾爱随笔录

假设您正在尝试解决 $Ax = b$ 使用定义的线性平稳迭代方法
$x_{k} = G x_{k - 1} + f$ $x_k = G x_{k-1} + f$ 这与 $Ax = b$ ，即，对于哪个 $f = (I - G)A^{-1}b$ . 假设特征值 $G$ 是真实的并且这样 $|\lambda_1| > 1$ 和 $|\lambda_i| < 1$ 为了 $2\leq i \leq n$ . 另外，假设 $G$ 已 $n$ 线性无关的特征向量， $z_i$ , $1\leq i \leq n$ .

a.) 证明存在一个初始条件 $x_0$ 这样 $x_k\rightarrow x = A^{-1}b$

b.) 你的答案是否给出了选择的特征 $x_0$ 可以在实践中用于创建确保收敛的算法？

解决方案 - 让 $e^{(k)} = x_k - x$ 是步骤上的错误 $k$ . 我们知道

e^{(0)} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} z_{i}, ‖ z_{i} ‖ = 1

$e^{(0)} = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i z_i, \ \ \|z_i\| = 1$ 由于那么我们可以得出结论这意味着存在一个不动点

。因此存在一个

使得

。

| λ_{i} | < 1

$|\lambda_i| < 1$

lim_{k \to \infty} e^{(k)} = 0

$\lim_{k\rightarrow \infty} e^{(k)} = 0$

x^{*} = A^{- 1} b

$x^* = A^{-1} b$

x_{0}

$x_0$

x_{k} \to x^{*} = A^{- 1} b

$x_k\rightarrow x^* = A^{-1}b$