该图基本上说它是线性微分方程所在的区域

和

实际上会归零。如果你玩一下欧拉方法，你会发现如果你将步长设置得太大，它会爆炸。发生的情况是它会以低精度迈出一大步，最终变成负数，然后又转回正数，这些振荡将继续爆炸，解决方案将趋于无穷。所以稳定性本质上是一个最大步长，一个方法可以准确地求解线性微分方程而不会爆炸（因为当然如果，那么如果你采取足够的步骤，那么解和因此数值方法总是会爆炸）。$\lambda < 0$$\lambda > 0$

这与振荡非常相关（因为它似乎来自于越过不应该的边界），因此复数很重要，因为纯复数只是振荡。所以实部测量速度为零，虚部测量振荡，稳定性图向您展示了一种方法可以如何处理组合。$\lambda$$\lambda$

这映射到“真实”问题，因为每个足够平滑的问题都是局部线性的。因此，您可以将视为局部雅可比行列式的特征值。始终在稳定区域内，则您将具有稳定性。这可能会在整个问题中发生变化，这就是为什么自适应时间步长方法是高效求解器的关键部分。$\lambda$$\lambda$

当您的问题具有非常大的时，无论是复杂的还是真实的，这就是人们开始说您的问题很僵硬的时候（尽管周围没有真正的定义。另一种方法是说您的最高特征值是否“大”并且您的最小的特征值是“小”，因为这种分离会导致许多数值问题）。在这种情况下，您可以从稳定性图中看到，大多数显式方法都需要非常小的时间步才能稳定。这就是“非常稳定”、A-stable 等方法的用武之地，因为它们可以在这些情况下以“正常”时间步长使用，但在其他地方会增加成本（没有免费的午餐！）。$\lambda$