计算科学 - 线性 CTCS 码是否总是稳定的？ - 吾爱随笔录

我想解决一些基本上看起来像这样的方程

\frac{\partial u}{\partial x} = F (v, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}),

$\frac{\partial u}{\partial x}=F\left(v,\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right),$

\frac{\partial v}{\partial x} = G (u, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}) .

$\frac{\partial v}{\partial x}=G\left(u,\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right).$ 我目前的计划是通过用中心差分方程替换每个导数来解决这个问题，因此数值方案看起来像这样

u_{i + 1, j} = u_{i, j} + Δ x F (v_{i + 1 / 2, j}, v_{i + 1 / 2, j + 1}, v_{i + 1 / 2, j - 1})

$u_{i+1,j}=u_{i,j} + \Delta x\,F\left(v_{i+1/2,j},v_{i+1/2,j+1},v_{i+1/2,j-1}\right)$

v_{i + 3 / 2, j} = v_{i + 1 / 2, j} + Δ x G (u_{i + 1 / 2, j}, u_{i + 1 / 2, j + 1}, u_{i + 1 / 2, j - 1}),

$v_{i+3/2,j}=v_{i+1/2,j} + \Delta x\,G\left(u_{i+1/2,j},u_{i+1/2,j+1},u_{i+1/2,j-1}\right),$ 我在哪里定义每个

v_{i + 1 / 2, j}

$v_{i+1/2,j}$ 位于中间

u_{i, j}

$u_{i,j}$ 和

u_{i + 1, j}

$u_{i+1,j}$ 在里面

x

$x$ -方向。我初始化

u

$u$ 和

v

$v$ 在

x = x_{m i n}

$x=x_{min}$ 然后迭代

x

$x$ . 这个方案稳定吗？您是否知道任何地方都记录了解决此类问题的方案。我已经对其进行了编码，并且对于某些值似乎是稳定的

Δ x

$\Delta x$ 和

Δ y

$\Delta y$ . 但是，我不知道我的方案是否存在根本问题，或者我是否只是在某个地方犯了一个愚蠢的编码错误。

编辑：

我已经链接了一个显示 F 和 G 表达式的 pdf。它们在第 3 页上以红色文本突出显示。

https://www.dropbox.com/s/43q5kkkqrrkbvrq/Normal_mode_code.pdf?dl=0