计算科学 - Raviart-Thomas 元素全局定义和紧凑支持 - 吾爱随笔录

Raviart-Thomas 元素全局定义和紧凑支持

计算科学 pde 有限元

2021-12-28 11:25:27

根据Christian在此处的评论中的建议，作为我继续寻求了解 Raviart-Thomas (RT) 元素的一部分，我想知道 RT 元素是如何在全球范围内定义的，特别是它们如何具有紧凑的支持.

对于参考方块上的 RT0，基函数之一是 $\mathbf{\phi}(\mathbf{x}) = \frac{1}{4}\langle 1 + x, 0\rangle^T$ . 这个函数只依赖于 $x$ 所以它在参考方块上方和下方的所有元素上都是非零的。由于 RT 是 $H$ (div) 符合，我想没有必要在解决方案或基函数中强制执行连续性。据我了解，这意味着我们可以简单地设置 $\mathbf{\phi}$ 成为 $\mathbf{0}$ 在某个域之外。

作为一个具体的例子，给定下面的边编号，（我假设 RK0 的每个边都有一个基函数，但这可能是错误的）在中间元素 (A) 上哪些基函数是非零的？

作为一个单独的问题，对于秩序的朗朗日元素 $k$ 我们选择有限维子集 $H^1$ 是所有分段连续阶多项式的集合 $k$ . 对于顺序的 RT 元素 $k$ 我们取子空间 $H$ （分）：

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1}

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1}$ 正如我上一个问题的答案中所定义的那样。这个空间有名字吗？

1个回答

在您的示例中，基函数对应于四个边 9、12、13、16。（为了 $k=1$ ，每条边将是两个基函数，加上对应于内部自由度 (DOF) 的四个基函数。）

原因是局部多项式空间在其中一条边上的插值法线轨迹由相应的边自由度唯一确定（这是局部多项式空间按原样定义的部分原因）。由于全局Raviart-Thomas 插值应该是 $H(div)$ 符合，它必须在该边缘上具有连续的法线迹线，因此您不能为相邻元素选择不同的这些自由度（否则，您会引入不连续性）。这意味着相应的基函数不能具有不同的系数，因此它们不能是线性独立的，因此不是真正独立的基函数。因此，您必须

用一个全局自由度识别同一边的局部自由度（对于 $k>0$ ，你当然还是要保持矩分开，即识别元素的第一个自由度 $K_1$ 与元素的第一个自由度 $K_2$ 等）和
将所有相应的局部基函数“粘合”到一个全局基函数。

（顺便说一句，这与您使用的方式完全相同 $H^1$ 符合元素；特别是，对于实施，您只需要执行 1.)。

对于您的单独问题：当地的Raviart-Thomas 学位空间 $k$ 通常只是被称为 $RT_k(K)$ （和 $K$ 通常表示参考元素）。全球Raviart -Thomas 空间

{v \in H (d i v) : v |_{K} \in R T_{k} (K) for all K \in T_{h}}

$\{v\in H(div):v|_K \in RT_k(K) \text{ for all }K\in \mathcal{T}_h\}$ 在镶嵌

T_{h}

$\cal{T}_h$ 您的域通常只表示为

R T_{k}

$RT_k$ （要么

R T_{k} (T_{h})

$RT_k(\mathcal{T}_h)$ ，如果应该强调这一点）。

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