我正在尝试对 PDE 进行数值求解，只是对某种方法的有效性有疑问。例如，给定 PDE：

$$\frac {\partial ^2 E}{\partial t^2} = - k\frac {\partial E}{\partial t} + c^2 \frac {\partial ^2 E}{\partial z^2} - c\frac {\partial E}{\partial z}$$

如果我要应用显式 Runge-Kutta 方法，我可以进行替换：

$$u = \frac {\partial E}{\partial t}$$

并解决以下问题：

$$\frac {\partial u}{\partial t} = - ku + c^2 \frac {\partial ^2 E}{\partial z^2} - c\frac {\partial E}{\partial z} \\ \\ u = \frac {\partial E}{\partial t}$$

其中空间导数通过有限差分逼近（例如中心差分）计算。我只是想知道：解决以下有效方法吗？

$$\frac {\partial E}{\partial t} = \frac{1}{k}(-\frac {\partial ^2 E}{\partial t^2} + c^2 \frac {\partial ^2 E}{\partial z^2} - c\frac {\partial E}{\partial z})$$

现在空间导数和二阶时间导数都由中心差分方案近似，而我将龙格-库塔方法应用于的一阶时间导数。我没有在任何地方看到这样做，但只是好奇为什么（或为什么不）这是一种不可接受的方法？从数学上讲，我的一阶导数依赖于其自身的高阶导数似乎很奇怪，尽管我没有立即看出为什么这在数字上是错误的。$E$