我目前正在研究 2D 插值，并且正在使用三次样条。

在给定 N 个点的 1D 中，将使用 N+2 条样条，并且必须应用额外的约束才能实现方形系统。例如，要求插值 S，二阶导数在端点处等于 0，Sxx = 0（自然样条条件）

我想知道如何将其扩展到二维？我相信它应该在您的域边缘类似于 Sxx = Syy = 0 但我不确定（如果是这样，我相信我们仍然会丢失一些方程式）。任何帮助，将不胜感激。

我将提供一个 2D 示例：考虑 x 分量中的点 1:1:10 和 y 分量中的点 1:1:10，因此每个方向上有 N 个点。对于三次样条，每个方向都需要 N+2 个样条。在 1D 插值中，我们可以添加二阶导数应该为零的约束，以得到 (N+2) 个未知数的 (N+2) 个方程。

因此，为了扩展到 2D，我将取这些点的张量积，我将有一个 10x10 网格（100 对点）和每个方向上 12 个样条的张量积（144 个样条）。由于我使用这些进行插值，因此我可以通过为网格中的每个点设置一个方程来检索 100 个方程。我可以通过在边界处询问 S_{xx} = S_{yy} = 0 来检索另外 40 个方程。10 在$(x_0,y)$,$(x_N,y)$,$(x,y_0)$,$(x,y_N)$因此我会丢失 4 个方程。这就是我的困惑所在。