计算科学 - 以边界值表示的自由表面流中动能的空间演化 - 吾爱随笔录

我正在运行一个势流求解器，并且我有速度势的值 $\phi$ 在边界上。我想计算系统中的空间演化动能。特别是，我想找到

T (x) = \int \int_{- \infty}^{η (x, t)} \frac{1}{2} (ϕ_{x}^{2} + ϕ_{z}^{2}) d z d t .

$T(x) = \int \int_{-\infty}^{\eta(x,t)} \frac{1}{2}(\phi_x^2+\phi_z^2) \ dz \ dt.$

我可以只使用边界值来计算这个积分吗 $\phi$ 及其衍生物？

注意，更常用的度量是动能的时间演化，

K e (t) = \int \int_{- \infty}^{η (x, t)} \frac{1}{2} (ϕ_{x}^{2} + ϕ_{z}^{2}) d z d x = \int_{\partial A} ϕ (ϕ_{z} d x - ϕ_{x} d z),

$Ke(t) = \int \int_{-\infty}^{\eta(x,t)}\frac{1}{2}(\phi_x^2+\phi_z^2) \ dz \ dx = \int_{\partial A}\phi(\phi_z \ dx - \phi_x \ dz),$ 和

\partial A

$\partial A$ 域的边界，我们采用了格林恒等式

K e (t)

$Ke(t)$ 仅基于边界上的值。

一个解决方案是解决 $\phi$ 在内部，然后简单地计算 2d 积分 $T$ ，但边界在空间和时间上不断变化，所以我不想在每个时间步求解拉普拉斯方程。