计算科学 - Lighthill 源项的有限差分 - 吾爱随笔录

我有包含速度的水平和垂直分量的实验数据，我需要对此进行评估：

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (v_{i} v_{j})

$\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}\left(v_iv_j\right)$

表示 $U$ 作为水平分量和 $V$ 作为垂直，我们应该获得：

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (v_{i} v_{j}) \to \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (U^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (V^{2}) + 2 \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} (U V)

$\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}\left(v_iv_j\right) \rightarrow \frac{\partial^2}{\partial x^2}(U^2)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(V^2) + 2\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(UV)$

我使用了二阶中心有限差分 $\partial^2/\partial x^2$ 和混合导数的一阶有限差分。在 MATLAB 中：

%H and WW are height and width respectively
for ii=3:H-2
    for jj=3:WW-2

        %d^2/dx^2
        A(ii,jj)=(-1/12*U(ii,jj-2)^2+4/3*U(ii,jj-1)^2-5/2*U(ii,jj)^2+4/3*U(ii,jj+1)^2-1/12*U(ii,jj+2)^2)/h^2;

        %d^2/dy^2
        B(ii,jj)=(-1/12*V(ii-2,jj)^2+4/3*V(ii-1,jj)^2-5/2*V(ii,jj)^2+4/3*V(ii+1,jj)^2-1/12*V(ii+2,jj)^2)/h^2;

        %Mixed derivative
        C(ii,jj)=(V(ii+1,jj+1)*U(ii+1,jj+1)-V(ii+1,jj-1)*U(ii+1,jj-1)-V(ii-1,jj+1)*U(ii-1,jj+1)+V(ii-1,jj-1)*U(ii-1,jj-1))/(4*h^2);

        %sum of derivatives
        LGHT(ii,jj)=(A(ii,jj)+B(ii,jj)+2*C(ii,jj));

   end
end

到目前为止，结果不是很令人满意：屏幕周围到处都是“狂野的不连接”。

我在某个地方有错误吗？
你会使用不同的方案吗？
你会推荐什么样的数据处理（样条？）以获得更平滑的结果？

输入数据示例：

输出：