对于方程使用有限元法，边界条件为零。应用相应的弱公式并取，我们得到以下等式。$\frac{\partial u}{\partial t}=-(-\Delta)u$$v=\phi_{j},j=1,2,...,N$

$$\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{du_{i}}{dt}\int _{\Omega} \phi_{i}\phi_{j}d\Omega=-\sum\limits_{i=1}^{N}u_{i} \int _{\Omega} \nabla\phi_{i}.\nabla\phi_{j}d\Omega\,.$$

引入质量和刚度矩阵。$\mathcal {M}_{i,j}=\int _{\Omega} \phi_{i}\phi_{j}d\Omega$$\mathcal{K}_{i,j}=\int _{\Omega} \nabla\phi_{i}.\nabla\phi_{j}d\Omega$

然后我们有

$$\frac{d\bf{u}}{dt}=-\mathcal{M}^{-1}\mathcal{K}\bf{u}\, ,$$

到目前为止，我们已经导出了有限元方法的扩散方程的近似矩阵表示，即。$A=\mathcal{M}^{-1}\mathcal{K}$

所以我的问题是为什么不仅是非对称的，而且是密集的。尽管和都是正半定的和稀疏的。$A$$\mathcal{M}$$\mathcal{K}$