我考虑常波动方程

$$u_{tt} - u_{xx} = 0$$ 有初始条件 $$u(x, 0) = \exp (-2 x^2) \\ u_t(x, 0) = 0$$

为了解决这个问题，我近似$u_{xx}$用 4 阶差分格式，用辛 4 阶方法求时间演化。

我使用以下参数：

$$x_{min} = -500 \\ x_{max} = 500 \\ dx = 0.5 \\ dt = 0.1$$

问题是，例如，在这一点$x=0$该算法非常适用于$t < 1000$（注意这个值等于$x_{max} - x_{min} = 2 x_{max}$但后来进化看起来很奇怪。这是一张照片。

我试图手动修复边界值（在每一步设置$u(x_{min}, t) = u(x_{max}, t) = 0, \ u_t (x_{min}, t) = u_t (x_{max}, t) = 0$) 并且还尝试使用“指数抑制”来避免来自边界的辐射。这$u_{xx}$有限差分近似仅用于距离边界超过 2 步的点，以避免出现问题。

似乎问题在于边界的存在，因为这种辛算法适用于任何时间值的谐振子（没有边界）。

UPD：我用于偏导数的模板：

$$u_{xx} (x) = \frac{-u(x-2) + 16 u(x-1) - 30 u(x) + 16 u(x+1) - u(x+2)}{12 (dx)^2}$$