计算科学 - 数值近似[ n ⋅ ∇你H] ,[n⋅∇uh],不使用 Matlab 函数 - 吾爱随笔录

计算科学有限元 matlab

2021-12-21 03:53:39

假设并且我们定义三角剖分其中，其中是三角形。 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ $\mathcal{T}_h$

T_{h} = ⋃_{i = 1}^{n} K_{i}

$\mathcal{T}_h=\bigcup_{i=1}^nK_i$

K_{i}

$K_i$

我们有椭圆问题的显式后验估计，这里表示u_h的正规导数的在元素

η_{K} (u_{h}) = h_{K} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L_{2} (K)} + \frac{1}{2} h_{K}^{1 / 2} ‖ [n \cdot \nabla u_{h}] ‖_{L_{2} (\partial K ∖ \partial Ω)}

$\eta_K(u_h)=h_K\|f+\Delta u_h\|_{L_{2}(K)}+\frac{1}{2}h_K^{1/2}\|[n\cdot\nabla u_h]\|_{L_{2}(\partial K\backslash\partial\Omega)}$

[n \cdot \nabla u_{h}]

$[n\cdot\nabla u_h]$

u_{h}

$u_h$

K .

$K.$

$u_h$ 是有限元解。

我想在数值上近似而不使用 Matlab 函数pdejmps $[n\cdot\nabla u_h],$

1个回答

由于您提到您的元素是线性的，因此的梯度是恒定的。因此，如果和之间，其中是从到的边的法线，则此外，其中是边的长度。等效公式适用于 3d 中的面。 $u_h$ $e$ $K$ $K'$ $\vec n$ $K$ $K'$

[\vec{n} \cdot \nabla u_{h}] = \vec{n} \cdot (\nabla u_{h} |_{K^{'}} - \nabla u_{h} |_{K}) .

$[\vec n \cdot \nabla u_h] = \vec n \cdot \left(\nabla u_h|_{K'} - \nabla u_h|_K\right).$

‖ [\vec{n} \cdot \nabla u_{h}] ‖_{e}^{2} = {| \vec{n} \cdot (\nabla u_{h} |_{K^{'}} - \nabla u_{h} |_{K}) |}^{2} h_{e},

$\|[\vec n \cdot \nabla u_h]\|_e^2 = \left|\vec n \cdot \left(\nabla u_h|_{K'} - \nabla u_h|_K\right)\right|^2 h_e,$

h_{e}

$h_e$

e

$e$

如果你有更高阶的元素，那么情况就不那么简单了。相反，您通常需要通过求积计算积分，这需要评估沿边缘的求积点处的跳跃项。为此，您需要在沿边缘的正交点处和 $\nabla u_h|_K$ $\nabla u_h|_{K'}$

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