计算科学 - 可以写成通量保守形式的数值方法 - 吾爱随笔录

我有一个非线性偏微分方程系统，我预计它会出现冲击以及二阶或更高阶方法的吉布斯现象（在冲击附近形成的虚假振荡）。我读过一种方法是使用包括通量限制器功能的所谓“高分辨率方案”。本质上，该方案是通过在不连续区域附近使用低分辨率（一阶）方法和在其他地方使用更高阶方法来采用的。

在此之前，必须将两种选择的方法写成守恒形式，即：

u_{m}^{n + 1} = u_{m}^{n} - \frac{Δ t}{Δ x} (F_{m + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} - F_{m - \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}})

$u_{m}^{n+1} = u_{m}^{n} - \frac{\Delta t}{\Delta x}\left(F_{m+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - F_{m-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\right)$ 书中还提到通量

F

$F$ 是一个依赖于的函数

u_{m}

$u_{m}$ 和一些在太空中的邻居，并且那个形式

F

$F$ 从一个点到下一个点不会改变。

我对这个规范有点困惑。这种形式到底有多“严格”？我不清楚这个定义的哪些部分是必要的。

以蛙跳法为例。

u_{m}^{n + 1} = u_{m}^{n - 1} - \frac{Δ t}{Δ x} (f (u_{m + 1}^{n}) - f (u_{m - 1}^{n}))

$u_{m}^{n+1} = u_{m}^{n-1} - \frac{\Delta t}{\Delta x}\left(f(u_{m+1}^{n})-f(u_{m-1}^{n})\right)$

起初，这似乎是二阶方法的完美候选者，但它使用 $u_{m}^{n-1}$ 代替 $u_{m}^{n}$ . 这是否意味着它不是通量保守的？

哪些方法可以保存形式？我计划将 Lax-Friedrichs 用于一阶，但我仍在寻找一种易于扩展到非线性问题的合适的高阶方法。