计算科学 - 帮助变分公式 - 吾爱随笔录

计算科学有限元

2021-12-25 21:46:21

我正在解决 Fenics 中的一个 pdes 系统，需要编写变分形式。一切看起来都不错，期待类似以下的术语

\nabla ξ \nabla \cdot U

$\nabla \xi\nabla \cdot U$

U = (U, V)

$\mathbf{U} = (U,V)$ 是一个向量函数并且

ξ

$\xi$ 是二维的标量函数。所以我尝试了以下方法。乘以向量函数

p

$p$ 并按部分进行整合，我得出以下结论，假设

p

$p$ 消失在边界上。

- \int (ξ \nabla \cdot U) \cdot \nabla p d x .

$-\int (\xi \nabla \cdot \mathbf{U})\cdot\nabla p\space dx .$ 但这看起来不对。有人可以帮忙吗？任何帮助深表感谢。谢谢。

1个回答

将项乘以向量测试函数 $\mathbf{p}$ 并在域上集成 $\Omega$ 给出：

\int_{Ω} \nabla \cdot U \nabla ξ \cdot p d Ω (1)

$\int_\Omega \nabla\cdot \mathbf{U}\nabla\xi\cdot\mathbf{p}d\Omega\qquad (1)$

首先你可以写：

\nabla \cdot (p ξ) = ξ \nabla \cdot p + p \cdot \nabla ξ

$\nabla\cdot(\mathbf{p}\xi) = \xi\nabla\cdot\mathbf{p} + \mathbf{p}\cdot\nabla\xi$

这使：

p \cdot \nabla ξ = \nabla \cdot (p ξ) - ξ \nabla \cdot p

$\mathbf{p}\cdot\nabla\xi = \nabla\cdot(\mathbf{p}\xi) - \xi\nabla\cdot\mathbf{p}$

将其插入（1）：

\int_{Ω} \nabla \cdot U (\nabla \cdot (p ξ) - ξ \nabla \cdot p) d Ω (2)

$\int_\Omega \nabla\cdot \mathbf{U}\left(\nabla\cdot(\mathbf{p}\xi) - \xi\nabla\cdot\mathbf{p}\right) d\Omega\qquad (2)$

回忆发散定理：

\int_{Ω} \nabla \cdot F d Ω = \int_{Γ} F \cdot n d Γ

$\int_\Omega \nabla\cdot \mathbf{F} d\Omega = \int_\Gamma \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}d\Gamma$ 其中是的边界。

Γ

$\Gamma$

Ω

$\Omega$

将此应用于 (2) 中的第一项，得到最终形式：

\int_{Γ} \nabla \cdot U ξ (p \cdot n) d Γ - \int_{Ω} \nabla \cdot U ξ \nabla \cdot p d Ω

$\int_\Gamma \nabla\cdot \mathbf{U} \xi(\mathbf{p}\cdot\mathbf{n})d\Gamma - \int_\Omega \nabla\cdot \mathbf{U} \xi\nabla\cdot\mathbf{p}d\Omega$

在边界上消失，则第一项为 0 。 $\mathbf{p}$

其它你可能感兴趣的问题