我正在尝试使用有限差分法编写代码来解决非线性 BVP。BVP 是：
$(T^2)\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + T \left( \frac{\partial T}{\partial x}\right)^2 + Q = 0$
边界条件为狄利克雷$x = 0$和罗宾在$x = L$. 参数$Q$是一个常数。

我的（可能是幼稚的）方法如下：

1. 对一阶和二阶导数使用二阶精确近似。
2. 使用离散形式生成空间点的耦合方程组。
3. 构造一个线性系统的形式$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$， 在哪里$\mathbf{x}$是一个向量$T$在每个空间点$x_0, \ldots, x_L$,$\mathbf{A}$是系数的矩阵$T$由离散化产生，和$\mathbf{b}$是包含源项的解向量$Q$.
4. 求解线性系统$\mathbf{x}$不知何故，我还没有走到这一步。

我真的不知道如何处理非线性。我的第一个问题出现在平方一阶导数上。如果我将有限差分近似应用于一阶导数，我得到：
$T_i\left(\frac{T_{i+1} - T_{i-1}}{2\Delta x} \right)^2$
开发上述术语产生：
$T_i \left(\frac{T_{i+1}^2-2T_{i+1}T_{i-1}+T_{i-1}^2}{4 \Delta x^2} \right)$

我不知道如何处理这个术语。我需要在某个时候（在离散化之前或之后？）线性化某些东西，但我不确定如何。假设我想出了一种处理平方一阶导数的方法，我不知道如何处理$T_i$在它面前。

我的问题是：你如何离散化然后线性化（反之亦然）这些非线性项？

感谢您的时间。请让我知道我是否应该澄清任何事情。