如果计算具有线性泛函的线性 PDE 的双加权残差 (DWR)，我正在处理中，但我正在努力处理计算的残差部分。

例如，假设我们想为泊松方程制定 DWR，那么线性泛函的误差由下式给出$J(\cdot)$

$$J(e) = \sum_{K} \{ (R_h, z-\varphi_h)_K + (r_h,z-\varphi_h)_{\partial K} \},$$

误差上限由下式给出

$$\eta_K = |(R_h, z-\varphi_h)_K + (r_h,z-\varphi_h)_{\partial K}| .$$

最后，后验误差估计可以写为

$$\begin{equation} J(e) \leq \eta = \sum_{K} \eta_{K}. \end{equation}$$

对于泊松方程，元素局部残差为

$$\begin{align} R(u_h)_K & = f + \Delta u_h, \\ r(u_k)_{\Gamma} & = \begin{cases} 1/2 n\cdot[\nabla u_h] && , \text{ if } \Gamma \subset {\partial K} / {\partial \Omega}\\ 0 &&, \text{ if } \Gamma \subset \partial \Omega. \end{cases} \end{align}$$

更详细的解释见方程（3.17）和（3.18）

R. Becker 和 R. Rannacher，“有限元方法中后验误差估计的最优控制方法”，数字学报，第一卷。10，没有。2001 年，第 1-102 页，2001 年。

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我的问题是如何计算（和）？$R(u_h)_K$$r(u_h)_K$

对于拉普拉斯算子，我们确实有弱形式的离散线性系统，这就是我们首先获得的方式。不会为元素为零，因为这是加权残差方法还是我错过/混合了什么？$u_h$$\mathbf{R} = b - \mathbf{A}x$$K$

注意：我知道 Galerkin 正交性属性，并且当对偶问题的解决方案误差近似时需要做一些事情，否则 DWR 将为零。第 4 章从

W. Bangerth 和 R. Rannacher，微分方程的自适应有限元方法，第 1 版。Birkhäuser 巴塞尔，2003 年。

在这个问题上提供了一些很好的想法。