计算科学 - 任意输入的高维表示 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数矩阵高维

2021-12-22 07:02:36

给定一个对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 具有正条目和零对角线，是否总是可以在欧几里得空间中构造一个高维配置，使得这些坐标产生距离 $A$ ? （高维配置最多意味着维度 $n-1$ )

如果这通常是不可能的，那么必须满足哪些条件才能实现高维配置，从而产生距离 $A$ ?

1个回答

从距离矩阵（平方距离矩阵）的条目的适当线性组合中，可以构造从一个点（取为零）到其他点的方向向量的 Gram 矩阵。可嵌入欧几里得维空间 $r$ ，这个矩阵必须是秩的半正定的 $r$ ; 那么 Cholesky 因子提供了一个明确的嵌入。（这是勋伯格的旧东西，http://www.jstor.org/stable/10.2307/1989894；另见我的论文http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/16.pdf和http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/combcon.pdf）

如果允许对距离进行单调变换，则嵌入总是可能的：只需将一个大常数添加到不同元素之间的所有距离。

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