这取决于您想如何解决它：通过隐式或显式方法。

显式方法当然是最容易编码但有限制的$dt$为了稳定；隐式方法更难编码，但没有这样的限制$dt$.

例如，如果我们考虑一个简单的平流方程

$$\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ 然后显式方法将其解决为（使用您的符号，我认为大多数人都这样做$n\to n+1$， 而不是$n-1\to n$) $$\frac{w^{n}_j+w^{n-1}_j}{dt}=u\left[\frac{w_{j+1}^{n-1}-w_{j-1}^{n-1}}{2\cdot dx}\right]$$ 更常见的写成 $$w^n_j=w^{n-1}_j+\chi u\left[w^{n-1}_{j+1}-w_{j-1}^{n-1}\right]$$ 在哪里$\chi=dt/2dx$. 隐式方法将其解决为 $$\frac{w^{n}_j+w^{n-1}_j}{dt}=u\left[\frac{w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n}}{2\cdot dx}\right]$$ 更常见的写成 $$-\chi uw_{j+1}^n+w^n_j-\chi uw^n_{j-1}=-w_j^{n-1}$$ 这需要求解一个三对角矩阵（幸运的是有一个相对简单的算法可以解决这个问题）。

我通常会建议先尝试显式方法，然后看看时间步长是否足够有用；如果不是，那么是时候使用隐式方法了。

我将总结评论中的有用评论。两个近似值

$E=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\phi_{n}-\phi_{n-1}}{t_{n}-t_{n-1}}\right)^2+V(\phi_n)\right)$

和

$E=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\phi_{n}-\phi_{n-1}}{t_{n}-t_{n-1}}\right)^2+V(\phi_{n-1})\right)$

将为您提供能量的一阶准确近似值。如果您希望获得高于一阶精度，则应使用更准确的有限差分近似$\dot\phi$. 例如，您可以使用

$E=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\phi_{n+1/2}-\phi_{n-1/2}}{t_{n}-t_{n-1}}\right)^2+V(\phi_{n})\right)$.

导数的定义是

$$\dot{\phi}_n=\lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{\phi_{n+1}-\phi_n}{\delta t}$$ 其中是。因此，您正在计算的导数是为第步计算的。因此，我会说你应该选择。$\delta t$$t_n-t_{n-1}$$n-1$$V(\phi_{n-1})$