我想求解一个微分方程组或更详细$u+\nabla(\nabla\cdot u)=f$

$a+\partial_t^2a+\partial_t\partial_xb+\partial_t\partial_yc=f$

$b+\partial_x^2b+\partial_x\partial_ta+\partial_x\partial_yc=g$

$c+\partial_y^2c+\partial_y\partial_tb+\partial_y\partial_xc=h$

通过有限差分法在规则网格上具有周期性边界条件。 ,和是我的未知数， ,和是已知的。$a=a(t,x)$$b=b(t,x)$$c=c(t,x)$$f=f(t,x)$$g=g(t,x)$$h=h(t,x)$

) 和空间 ( ) 上离散化了我的域。我现在已经拥有的是一个大方程系统。该矩阵具有满秩。对于每个方向只有 3 个节点（总共 = 27 个节点，= 81 个方程）的网格，它看起来像这样$t$$x,y$

当增加节点数量时，系统很快就会为我的计算机内存变大。这就是为什么我实际上希望系统矩阵是对称的，以便使用 Cholesky 分解（希望如此）或其他东西。但我不确定是否存在使系统矩阵对称的节点编号。

在文献中，常用的例子是拉普拉斯方程，他们只是使用对称模板来近似。与此相反，我必须使用一维有限差分来近似 3 维空间中的例如。此外，我对边界处的混合导数使用单边差异，这可能会破坏对称性。但是我不确定这是否真的破坏了对称性。$\Delta$$\partial_x^2$

只是因为我找到了这个线程，我才有希望对我的节点进行编号，这将使我的系统矩阵对称。但实际上我无法想象，因为非对称矩阵不能通过仅以相同方式排列行和列来成为对称矩阵。

那么有没有办法为我的问题获得对称系统矩阵？如果不是，你会做什么来解决这个系统？