我面临一个简单的（乍一看）问题。我需要实现一个数值方案来解决包含色散的一阶波传播方程。我最初的问题是（对于前向传播波）：

$$\begin{equation} \frac{1}{c} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{ \partial u}{ \partial x} - \frac{i \beta_2}{2} \frac{ \partial^2 u}{ \partial t^2}, \end{equation}$$ 在哪里$c$是光速，$u$是场的（复）包络，$\beta_2$是二阶色散系数。还假设波在长度为 的环形腔内传播，例如 L，其中我采用周期性边界条件：$u(x+L,t) = u(x,t)$还有那个在$t=0$我们知道$u(x,0)$和$u_t(x,0)$.

我正在尝试实现一个时间步进数值方案，并在此过程中尝试了以下操作：

1) MOL 方法，我在其中进行半离散化$x$，将方程组简化为一阶 ODE 系统（通过设置$v = \dot{u}$) 我建立了一个系统：

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{v} \\ \dot{u} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} v \\ u \end{bmatrix} . \end{equation}$$

当我通过 4th Runge-Kutta、Crank-Nicholson 或简单地预先计算矩阵指数求解相应的 ODE 时，不幸的是，我所有的解决方案最终都变成了 Inf。我通过修改矩阵实现了周期性边界条件$A$作为$A \leftarrow PA$， 在哪里$P$是第一行与最后一行相同副本的单位矩阵。

我还尝试了一种简单的有限差分方法，其中空间导数通过迎风 FD（一阶）近似，但无济于事。

最后，我尝试了一种基于两个方程的奇异分裂方法：

$$\begin{align} \frac{1}{c}\dot{u} &= -\frac{\delta u }{\delta x} \\ \frac{1}{c}\dot{u} &= -\frac{i\beta_2}{2}\frac{\delta^2 u }{\delta t^2} , \end{align}$$

这一次解决方案没有爆炸，但它看起来有点不物理。

这里有人知道这个方程的稳定且可能高于一阶时间步长方案吗？请注意，基于傅里叶变换的解决方案$x$对我来说也不是一个好的选择，因为我希望能够灵活地实现不同的非周期性边界条件。我也不喜欢用空间中的二阶导数代替时间上的二阶导数，因为这会使边界条件的实现复杂化。

谢谢。