基本概念

法线向量对应一个物理参数，例如笛卡尔坐标$x$. 例如，沿$x$方向可以由达西定律定义如下：

$u_x(x,t)=\frac{k}{\mu}\frac{\partial{P}}{\partial{x}}$

根据 Neumann 的 BC，通量在边界处应为常数或为零，即$u(0,t)=u(L,t)=0$

换一种说法，$\frac{k}{\mu}\frac{\partial{P(0,t)}}{\partial{x}}=\frac{k}{\mu}\frac{\partial{P(L,t)}}{\partial{x}}=0$

例子

考虑一个有 2 个网格的系统，如下所示：

如果我们将上述概念应用于该系统，我们可以得到以下方程：

$\Rightarrow \frac{P_i-P_{i-1}}{\Delta x}=\frac{P_1-P_{0}}{\Delta x}=0$

$\Rightarrow P_1=P_0$

当我们写$\partial{u}/\partial{n}$这只是一个简写$\nabla{u}\dot{}n$. 因此，我们采用梯度和单位法线的点积。以矩形区域为例：

左墙上的法线单位是 (1,0) （或 (-1,0) 取决于您的定义）。因此，诺伊曼条件将是$\partial{u}/\partial{x}=0$在左边墙上。类似地，对于底部边缘，单位法线为 (0,1)，因此诺伊曼条件为$\partial{u}/\partial{y}=0$.

就表面积分而言，我认为维基百科的解释非常好。它部分说维基百科：

或者，如果我们对向量场的法线分量进行积分，则结果是一个标量。想象一下，我们有一个流过 S 的流体，因此 v(x) 决定了流体在 x 处的速度。通量定义为每单位时间流过 S 的流体量。该图表明，如果矢量场在每个点都与 S 相切，则通量为零，因为流体仅与 S 平行流动，既不流入也不流出。