相关：使用高阶有限差分方案有什么负面影响？

问题：我有一些轨迹的离散数据$x_t$有错误$\delta x_t$在相同时间采样的物理系统$\Delta t$我想计算轨迹的导数，即速度$v_t$.

我知道我可以使用有限差分法对它进行数值区分。从公式来看，高阶方法似乎更准确，因为它的理论误差更低。但是，我相信函数在给定点的导数应该只取决于该点的局部区域。如果我们使用高阶有限差分方案获取更多远离的点，我觉得我们会增加导数的误差。

问题：这个推理正确吗？如果是这样，如何平衡这两个问题以找到特定情况下的最佳方案？

根据 Superbee 的回答，我想到了一种解决问题的方法：

1. 比较采样分离$\Delta t$随着数据的变化$\Delta x$. 为了使用更高阶的方法，您需要及时采样远小于数据的变化。但是，要比较不同的变量，您应该删除它们的单位。我们可以粗略地对特征长度进行归一化：$L$和$T$， 为了$x$和$t$分别。这些长度可以定义为变量的平均值。然后，要使用更高阶的方法，我们需要：

   $$\frac{\Delta t}{T} \ll \frac{\Delta x}{L.}$$ 如果我们怀疑这是否得到满足，我们宁愿选择较低的订单。

2. 如果我们不考虑龙格现象，在情况 1. 满足的情况下，我们可以毫无问题地使用高阶方法。但是，如果理论上的错误，使用高阶方法不会有任何好处$\varepsilon$有限差分法的误差低于来自您的数据的误差$\delta$：

   • $\varepsilon$通常取决于函数的导数（我们可以用数值估计）和给定的幂$\Delta t$.

   • $\delta$来自误差的传播$\delta x_t$到有限差分法。我们可以使用典型的误差传播公式从有限差分法的形式估计这一点：

     $$\delta y = \sqrt{\sum_i \left( \frac{ \partial y }{\partial x_i} \right ) ^2}$$

   从这两个误差中，我们还可以估计导数的实际误差。

这种方法看起来不错吗？