让。如果没有任何变化，所以不失一般性，假设 , 并假设和都是可逆的。$A(t_{k}) = [b(t_{k}), e_{2}, \ldots, e_{n}]$$b(t_{k+1}) = b(t_{k})$$b(t_{k+1}) - b(t_{k}) \neq 0$$A(t_{k})$$A(t_{k+1})$

通过注意是 A 的秩一更新，​​您可以从 A(t_{k})^{-1} 得到A，并使用Sherman-Morrison 公式，其中和；与使用 LU 分解相比，这种 rank-1 更新会更便宜。$A(t_{k+1})^{-1}$$A(t_{k})^{-1}$$A(t_{k+1})$$A(t_{k})$$u = b(t_{k+1}) - b(t_{k})$$v = e_{1}$$A(t_{k+1})$

然后，由于 1}的一级更新，您可以更新您的 QR 分解（至少，这就是我会在数字上做 Gram-Schmidt）也使用秩一更新方案。在Golub 和 van Loan的矩阵计算第三版的第 12.5.1 节中可以找到一种用于完成 QR 分解的秩一更新的算法。$A(t_{k+1})^{-1}$$A(t_{k})^{-1}$

这两个更新都应该将操作的复杂性降低到操作；您甚至可以以这种方式计算及其 QR 分解，因为是单位矩阵的秩一更新。$\mathcal{O}(n^{3})$$\mathcal{O}(n^{2})$$A(t_{0})^{-1}$$A(t_{0})$

重写你的方程

$$b(t)=B(t)a$$

$B(t+\Delta t)=B^\prime B(t)$其中 和使得将带到。现在。

$$B^\prime=\left(\begin{matrix} b/\|b\| & \dot b/\|\dot b\| \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} b/\|b\| & \dot b/\|\dot b\| \end{matrix}\right)^\ast +\\ I-\left(\begin{matrix} b/\|b\| & \dot b/\|\dot b\| \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} b/\|b\|& \dot b/\|\dot b\| \end{matrix}\right)^\ast$$ $\theta$$B^\prime$$b(t)$$b(t+\Delta t)$$S(t)=B(t)^\ast$

B 的构造使得您的坐标系由和定义。由于所有其他方向不受影响，我们投影到的补码（右边的第二项），然后在和（右边的第一项）内旋转。$b$$\dot b$$\mbox{span }\{b,\dot b\}$$b$$\dot b$

您可能还想考虑您的问题可以理解为

$$S\dot b +\dot S b = 0$$ 使得 $$S\in SO(n).$$