计算科学 - 两个矩阵乘积的频谱 - 吾爱随笔录

给定 SPD 矩阵

A \in R^{N \times N}

$A \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 和正对角矩阵

D \in R^{N \times N} .

$D \in \mathbb{R}^{N\times N}.$ 那么产品的光谱是什么

D^{T} A D .

$D^TAD.$ 光谱之间是否存在闭式关系

A, D

$A, D$ 那产品呢？或者至少我们能找到它的界限吗？

例如，可以看到，如果 $D = \alpha I$ 然后 $cond(A) = cond(D^TAD)$ 对于任何 $\alpha > 0$ .

更新：在实践中，我观察到任意正面 $D$ 这 $cond(A) < cond(D^TAD)$ . 但是，我无法解释或理解它。任何线索表示赞赏。

更新：以下 MATLAB 脚本生成 $k$ 随机矩阵 $A$ 和 $D$ 然后 $i$ 次减少最小对角元素 $D$ 按因素 $r < 1$ , 计算每一次迭代的产品条件数 $D^TAD$ 更新 $D$ ：

sz = 100;

v = [];
cw = []; ch = [];

r = 0.75;

for k=1:100

    A = 4 + 1.*randn(sz);
    A = A'*A;
    W = diag(4 + 1.*randn(sz,1));

    cw(1) = cond(W);
    ch(1) = cond(W'*A*W);

    [c, j] = min(diag(W));
    for i=1:25
        W(j,j) = W(j,j) * r;
        cw(i+1) = cond(W);
        ch(i+1) = cond(W'*A*W);
    end

    v(:,k) = (ch(2:end)./ch(1:end-1))';
end
plot(v);
axis([1 i 1 1/r^2]);

如果我绘制然后迭代之间的条件数的比率它接近 $1/r^2$ . 例如，对于 $r = 0.75$ ：

它永远不会大于 $1/r^2$ . 它告诉也许应该绑定产品的条件编号 $D^TAD$ 或者我们甚至可以在知道频谱的情况下计算它 $A$ ，但我无法弄清楚。任何人都可以帮忙吗？此外，这种效果似乎与随机生成器及其参数无关。