您可以通过构建具有“虚拟”目标的线性规划 (LP) 问题来检查一组线性不等式的可行性，例如，

$$\begin{align} \max_{\{x_i\}_{i=1}^n} &\;0\\ \text {subject to } & \sum_{i=1}^n a_{i,j} x_i \geq0 \text{ for all } 1 \leq j \leq m. \end{align}$$

任何合理的 LP 求解器都将返回“最优”$\{x_i\}$（暗示不等式的可行性）或将返回不可行的证明（通过 Farkas 引理）。

我同意 Stelios 的回答，但它可能需要一些充实。这个问题被称为“第一阶段”问题。

首先，将您的问题转换为“标准形式”。

$$\begin{align*} \min_x 0 \\ s.t. \;\;Ax =b \\ x \ge 0 \end{align*}$$ 这总是可以针对您的类型的问题完成，尽管它可能需要引入新变量。接下来，解决新问题的第一阶段问题。您可以通过解决以下 LP 来解决它：

$$\begin{align*} \min \sum_i z_i \\ Ax + z = b \\ z \ge 0 \\ x \ge 0 \end{align*}$$

这个新问题的一个可行的初始点是$x=0$,$z=b$（假设$b\ge 0$. 如果没有，只需翻转正确的登录$A$做到这一点）。一旦你达到这个线性程序的最小值，你将处于你真正关心的多面体的一个角落。如果最小值不为零，则您知道不存在这样的点。

一般来说，找到一个可行点——更具体地说是可行区域的一个顶点——是一项不平凡的任务。这是解决线性问题的任何顶点算法实现的第一步，通常通过解决对偶问题来完成。在这个对偶问题中，我们知道原点是一个可行顶点，并且对偶问题的解（我们可以再次通过顶点算法找到）是原问题的一个可行顶点。

就您而言，这意味着您可以通过写下“假”线性问题（如@Stellos 在他/她的帖子中所建议的那样）、构建对偶问题并解决它来测试可行性。如果它成功了，那么你就有了原始约束集的一个可行顶点；那么就没有必要解决假货问题了，当然。任何商业 LP 求解器也可以为您解决此问题，尽管它可能仍会尝试解决虚假问题。