简短的回答：仅此而已$U_{ii} = 0$，即您计算的 $U$因式分解完全是奇异的。

xGETRF作为揭示因式分解的等级是不安全的，所以我不会得出任何结论，除了以下事实$A$是病态的，没有解决办法$Ax=b$可以安全计算。秩和零空间的信息应该通过其他分解来导出（如果需要），例如。$QR$.

如果你计算一个 LU 分解$n$经过$n$矩阵$A$，那么你最终会得到

$PA=LU$

在哪里$P$是一个置换矩阵，$L$是下三角形且非奇异的，并且$U$是上三角形。如果$A$碰巧是单数，那么 LAPACK 例程将产生一个$U$是奇异的矩阵。上三角矩阵可以是奇异的唯一方法是使对角线条目为 0（的行列式$U$是其对角线项的乘积。）LAPACK 例程返回的信息值告诉您对角线上第一个 0 的行/列$U$.

您可以使用此信息（例如）找到一个非零向量$\hat{x}$这样$U\hat{x}=0$. 假设信息是$k$. 然后让$\hat{x}_{j}=0$为了$j=n, n-1, \ldots, k+1$. 让$\hat{x}_{k}=1$. 然后使用反向替换找到$\hat{x}_{k-1}, \hat{x}_{k-2}, \ldots, \hat{x}_{1}$.

然后$LU\hat{x}=0$， 所以$\hat{x}$是在零空间$PA$.