首先，免责声明：我将在贝叶斯逆问题的背景下具体回答，而不是更广泛的贝叶斯推理统计理论（在某些时候往往会演变为哲学......）

其次，一般点：如果您只计算 MAP 估计值而不试图从后验分布中提取高阶矩，那么贝叶斯和经典逆问题之间唯一（有意义的）区别在于建模，即差异和正则化项（包括它们的缩放）。坦率地说：如果您正在计算 MAP 估计值并且您没有进行贝叶斯建模（即基于客观统计考虑），那么您所做的就是将标签“差异项”和“正则化项”与分别是“可能性”和“先验”。

由于您没有详细说明您的目标来自哪里，我看到了三种可能性：

1. 您的建模基于适当的统计考虑，即您（从某处）知道数据$d_i$独立同正态分布，均值$f(m)_i$和方差$\sigma^2$，并且在没有任何进一步信息的情况下，您会期望$m_j$也独立同正态分布，均值$m_{\text{prior},j}$和方差$\alpha^2$. 在这种情况下，您当前正在观察并且不确定的缩放实际上是正确的缩放：贝叶斯理论告诉您，在这种情况下，您需要对先验给予非常强的权重。（类似于 Brian Borchers 告诉你的。）

2. 您的建模基于不恰当的统计考虑。最常见的情况是您的问题来自偏微分方程中参数识别问题的离散化。在这种情况下，您的模型会告诉您，例如，未知参数函数随方差呈正态分布$\alpha^2$，但这并不一定意味着离散参数向量的条目是。如果你考虑向量$m$作为给定基的未知膨胀系数$\{\phi_i\}$分段线性函数（如在标准有限元离散化中）和相应的离散参数函数 $m_h := \sum_i m_i\phi_i$随方差正态分布$\alpha^2$，您的可能性项实际上是$\alpha^{-2}(m_h-m_p)^T M_h(m_h-m_p)$， 在哪里$M_h$是通常的质量矩阵。（对于似然性也是如此。）现在，由于离散化，质量矩阵已经考虑了这两个项的不同比例，您可以使用模型给出的相同参数。您可以在http://www.siltanen-research.net/LassasSaksmanSiltanen.pdf或Georg Stadler的著作中找到有关贝叶斯逆问题离散化的讨论。

3. 您选择的可能性和先验（包括$\sigma$和$\alpha$) 实际上不是基于坚定的先验知识，而是选择的特设。（并不是说这有什么问题——逆问题中的人们多年来一直在这样做，而不会为此感到羞耻。）那么贝叶斯框架剩下的就是对术语的解释，但是由于没有外部客观信息与此相关，它（从数学的角度来看）毫无意义。但这意味着您可以自由缩放参数（或者更确切地说，比率$\sigma/\alpha$，因为这就是这里的全部）根据你的喜好，没有人能告诉你你错了。尽管如此，确保您的差异和正则化项与离散化无关始终是一种很好的做法，因此您可以更改离散化而不必再次摆弄参数。然后，您还可以将参数视为附加的未知变量，并借助所谓的超先验将其包含在贝叶斯公式中。

假设它是 2. 或 3.，因此答案是肯定的，你可以，你应该。（这也将有助于解释，因为否则您将置信度/噪声协方差与纯数字缩放混合在一起。）

改变这两个词的相对权重相当于改变你的先验。

这里的基本问题是，您遇到的问题是要估计的参数比数据点多得多。您将需要使用相当强的先验来获得拟合参数的严格界限，并且该先验的选择将对您的解决方案产生很大影响。.

作为旁注，缩放参数的物理尺寸$\sigma,\alpha$是不同的。所以形式的声明$\sigma\ll\alpha$正如您的问题所给出的没有任何意义：3公斤的苹果比5微米的纱线少得多还是多得多？

除了之前其他人给出的参考资料之外，我还要推荐 Somersalo 和 Kaipio 的《Statistical Inverse Problems》一书。它还包含许多关于逆问题实用性的讨论。