使用有限元方法时，有多种方法可以实现 Dirichlet 边界条件。

对于属于 Dirichlet 边界的系统的每个未知行和右侧的条目以这种速度，您可以仅针对内部的未知数重新构造问题，从而减小其大小。$i$$i$$i$

或者，您可以在非线性求解的每一步强制执行 Dirichlet 边界条件。但是，这假设您是负责编写求解器的人；如果你想用别人的软件为你解决非线性系统，你可能不得不求助于第一种方法。

这本书有一整节关于狄利克雷边界条件的内容，其中更详细地涵盖了这两个选项以及其他一些选项，例如惩罚方法。

这个评论对于评论来说有点太长了，但是关于 DanielShapero 关于改变雅可比矩阵的评论，对于每个自由度对应于 Dirichlet 边界条件 (BC)，一个常见的方法是设置行雅可比矩阵等于单位矩阵的第行，这意味着您的（准）牛顿迭代应该是可以置换为形式的线性系统$i$$i$$i$

$$\begin{align} \left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta x_{interior} \\ \delta x_{BC}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-f_{interior}(x^{k}) \\ -f_{BC}(x^{k})\end{array}\right]. \end{align}$$

只要非线性求解的初始猜测将 Dirichlet BC 自由度设置为那些边界条件中指定的值，那么在非线性求解器的每次迭代中，都应该满足 Dirichlet 边界条件，并且因为。$\delta{x}_{BC} = 0$$-f_{BC}(x^{k}) = 0$

您可以对功能迭代型非线性求解器执行类似的操作。

编辑：如果你将置换雅可比矩阵的行归零以获得

$$\begin{align} \left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta x_{interior} \\ \delta x_{BC}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-f_{interior}(x^{k}) \\ -f_{BC}(x^{k})\end{array}\right], \end{align}$$

然后可以使用最小二乘直接方法（QR，SVD）或 Krylov 方法（它将计算 Drazin 逆并收敛到正确的解）来求解得到的秩不足系统。基于 LU 的方法应该由于零枢轴而返回错误，并且不能在不仅根据内部自由度重新构造系统的情况下使用，这是将行归零的一个小缺点。解决重构在这一点上可能更可取。$A \delta{x}_{interior} = -f_{interior}(x^{k})$