让我们考虑一下您有两张照片的情况，一张是基础照片，另一张是基础照片的缩放版本。然后考虑您可以创建从基本照片到缩放照片的“映射”，由基本照片中每个像素的一组矢量变化定义。

也就是说，如果您在基本照片的点 (0,0) 处有一个像素，它将位于缩放照片上的位置 (0,0)。如果您在基本照片上的点 (0,1) 处有一个像素，则它将位于缩放照片上的点 (0,s) 处，其中 s 是它们之间的比例因子。对于 (1,0) 映射到 (s,0) 和 (1,1) 映射到 (s,s) 也是如此。

我们可以将这些像素中的每一个理解为“所有可能的像素”的向量空间上的子空间（根据其表示方式，每个像素的“值”可能包含一个包含向量作为第三维）。但请注意，它们是不同的子空间。缩放图片中存在大于 1 的比例因子的矢量，而这些矢量不在原始图片中。对于小于 1 的比例值，原始图片中的向量不在缩放图片中。对于等于一的比例向量，它基本上是同一性的，它们是同一张图片。

更重要的是，我们可以对旋转做同样的事情。如果您有基本照片和旋转照片，那么基本照片上的一个像素到旋转照片上的一个像素之间存在映射，我将把数学留给您。平移、倾斜甚至更改图像的颜色也是如此。每个都表示一种类型的映射，您可以从一个子空间到另一个子空间。

那么这是什么意思？好吧，您可以做的一件事是拍摄两张图像，一张“基本”照片和两张“缩放”照片，然后确定“这两张照片与基本照片有何不同”？也就是说，如果第一张缩放的照片的缩放因子为 10，而第二张的缩放因子为 100，那么您可以说较大的缩放照片离基础照片“更远”。也就是说，我们可以将两个映射一起比较，以确定哪个映射更接近原始映射。

更重要的是，这些映射函数通常是可组合的和可交换的。也就是说，如果您执行“缩放然后旋转”，这与执行“旋转然后缩放”非常相似，如果不完全相同的话。让我们来看看这是为什么。让我们考虑从任何一个中获取一个单位向量。然后我们应用“缩放”来缩放 x 和 y 分量，然后围绕某个轴旋转这个单位向量（让我们假设原点，尽管可能也会发生平移）。然后，您将产生一个代表所有这些应用更改的新向量。更重要的是，我们可以对“缩放然后旋转”函数和“旋转然后缩放”函数都这样做。

现在我们有两个向量，我们想确定它们是否相同。好吧，一种方法是计算两个向量之间的角度。如果角度为 0，那么我们可以说向量是相同的（假设它们也具有相同的大小）。在这种情况下，两者都会产生相同的向量，它们之间的角度是 0，所以我们可以说它们是相同的。

那么我们如何回到“这两个对象有多大不同”的问题呢？好吧，我们可以做到的一种方法是尝试回答“哪一组组合函数从一个对象映射到另一个对象？”这个问题。如果我们可以创建一个新的“向量”来表示从一张图片到另一张图片的全部变化，那么我们就可以尝试确定这两个对象的不同之处，正如它们图像的维度空间所表示的那样。

但是您可能会问的问题是“为什么这有用”？好吧，想象一下你是一个神经网络。你得到了一张照片，并负责回答“这是一只猫吗？”这个问题。你将如何回答这个问题？好吧，作为神经网络，你学到的一件事是“猫有耳朵”。您在神经网络的权重中编码了“猫耳”的规范表示，因此您开始查看图片的不同子集以说“这是猫耳”吗？您可以这样做，例如，通过截取图片的一部分，确定裁剪部分与您的规范“猫耳”之间的角度和尺寸，以及您的规范“猫耳”和您的样本之间的角度是否低于一定数量，您可以自信地说，您找到的是“猫耳朵”。一对猫耳朵、眼睛、鼻子、一些毛皮和一条尾巴（尽管尾巴可能被遮挡了），你可以确信你找到了一只“猫”。

（注意：这是一种过度简化，通常在深度网络中通过将图片分解成一系列连续组合的特征来完成，例如首先“线条”、“曲线”和“纹理”，然后产生“圆圈”和“矩形”与“交叉散列”，然后产生“眼睛”、“毛皮”与“皮肤”等。每个不同的层都可以用相同的方法通过自己的比较来实现！）