机器算法验证 - 总体比例的置信区间的推导 - 吾爱随笔录

总体比例的置信区间的推导

机器算法验证置信区间正态分布二项分布数理统计

2022-03-27 07:06:53

我很难理解这个公式的来源。这对我来说似乎没有任何意义。有人可以对此有所了解：

的自然估计量是，成功率相同。由于只是乘以一个常数，所以具有近似正态分布。和。标准化，这意味着： $p$ $\hat p = \frac{X}{n}$ $\hat p$ $X$ $\hat p$ $E(\hat p) = p$ $\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

$P (- z_{α / 2} < \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}} < z_{α / 2}) \approx 1 - α$ $P\left(-z_{\alpha/2} \lt \frac{\hat p- p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \lt z_{\alpha/2}\right) \approx 1 - \alpha$

有人可以推导出这个等式，以便对以前从未见过的人有意义吗？

2个回答

二项分布只是具有成功概率 p 的伯努利变量之和。的正态分布来近似二项式分布。这意味着可以近似为均值和方差的正态分布。相应的标准差由。 $B(n,p)$ $np(1-p)$ $\frac{X}{n}$ $p$ $\frac{p(1-p)}{n}$ $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

那么问题就变成了什么时候n“足够大”并且总是有很多关于这个的讨论。正态近似的缺点之一是它始终是对称的，并且二项式分布不适用于。这反过来又会导致上述置信区间可能包含大于 1 或小于 0 的值，这显然没有意义。更严重的是，它不仅包括没有意义的值，而且还没有规定的覆盖范围。 $p != 0$ $\alpha$

当正态近似有意义时，还有其他很多讨论，这不仅取决于 n，还取决于 p。这篇 Wikipedia 文章http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval是一个非常好的开始，其中还讨论了更好的替代方案。正态近似值仍然被广泛使用，因为它通常做得不错，而且需要很少的计算，这在计算机出现之前的时代很重要。

这是均值（比例）采样分布的正态近似的直接结果。请注意，如果是标准的正常 RV（平均值为 0，sd 为 1），那么我们将有： $Z$

P (- z_{α / 2} < Z < z_{α / 2}) \approx 1 - α .

$\mbox{P}\left( -z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2} \right) \approx 1-\alpha.$

然后，用中心和缩放的样本比例代替 Z，即让

Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}}

$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}}$

这为您提供了他们提出的置信区间。

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