同时，我发现结果（用特征函数重新表述）首先在
J. Marcinkiewicz, Sur une propriete de la loi de Gauss, Mathematische Zeitschrift 44 (1939) 612-618 的论文中进行了描述。

该结果也在
E. Lukacs, Characteristic Functions, 2nd ed., Griffin, London 1970
的 p.213 上得到证明。证明相当冗长。

那里对 p.224 的评论暗示了多项式累积量生成函数的不存在$>2$是因为每个完整的累积量生成函数$f(x)$必须满足形式的岭属性$\Re f(x+it) \le f(x)$对于所有真实的$x$和$t$. （这相当于传统的岭属性$|c(t+iy)|\le c(iy)$对于特征函数$c(x)$, 并且可以通过取对数从后者获得。）

为了将来参考，这组讲义提供了 Marcinkiewicz 定理的一个相当简洁的证明：
https : //math.uc.edu/~brycw/probab/charakt/charakt.pdf （并且既不是付费墙也不是法语）

似乎关键是将问题重新构建为表明具有多项式特征的两个变量之间的差异的特征函数必须是高斯的，这只有在原始特征是高斯本身的特征时才成立。然后，他们只需使用偶数有序多项式，因为差异变量会导致抵消。然后，他们通过显示最高阶必须具有负系数（对于要限制的整个函数）从下方限制特征函数，并通过使用 Jensens 不等式从上方限制特征函数。除非多项式是二次的，否则这会导致矛盾。